Disuguaglianza di Young

In matematica, la disuguaglianza di Young afferma che se ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ sono numeri reali positivi e ${\displaystyle p,q>1}$ tali che ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$, allora

${\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}.}$

L'uguaglianza vale solo se ${\displaystyle a^{p}=b^{q}}$, dal momento che ${\displaystyle ab=a(b^{q})^{1 \over q}=aa^{p \over q}=a^{p}={a^{p} \over p}+{b^{q} \over q}}$.

La disuguaglianza di Young è un caso particolare della versione pesata della disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica. Essa viene utilizzata nella dimostrazione della disuguaglianza di Hölder.

Dimostrazione

Sappiamo che la funzione ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ è convessa, dal momento che la sua derivata seconda è positiva per ogni valore di x. Pertanto, possiamo scrivere:

${\displaystyle ab=e^{\ln(a)}e^{\ln(b)}=e^{{1 \over p}\ln(a^{p})+{1 \over q}\ln(b^{q})}\leq {1 \over p}e^{\ln(a^{p})}+{1 \over q}e^{\ln(b^{q})}={a^{p} \over p}+{b^{q} \over q}}$.

Dove è stata usata la disuguaglianza di convessità, ossia il fatto che una funzione f è convessa se e solo se per ogni t compreso tra 0 ed 1 (estremi inclusi),

${\displaystyle f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y).}$

Dimostrazione alternativa

Sia ${\displaystyle f(a)={\frac {a^{p}}{p}}}$ una funzione convessa (${\displaystyle a>0,\ p>1}$). La sua trasformata di Legendre è, per definizione,

${\displaystyle f^{\star }(b)={\underset {a}{\max }}\left(ba-{\frac {a^{p}}{p}}\right).}$

Fissato ${\displaystyle b}$, studiamo la derivata prima rispetto a ${\displaystyle a}$ della funzione ${\displaystyle F(a,b)=ba-{\frac {a^{p}}{p}}}$:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} F(a,b)}{\mathrm {d} a}}=b-a^{p-1}=0\iff a=b^{\frac {1}{p-1}}.}$

Essendo la funzione concava (la sua derivata seconda è uguale a quella di ${\displaystyle -f(a)}$, che è una funzione concava, visto che ${\displaystyle f(a)}$ è convessa), per ${\displaystyle a=b^{\frac {1}{p-1}}}$ la funzione ${\displaystyle F(a,b)}$ ha un massimo. Dunque:

${\displaystyle f^{\star }(b)=b^{\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)={\frac {b^{q}}{q}},\quad q={\frac {p}{p-1}}.}$

Dal momento che ${\displaystyle q={\frac {p}{p-1}}=1+{\frac {1}{p-1}}>1,\ \forall p>1}$ e che la trasformata di Legendre di una funzione convessa è anch'essa una funzione convessa (${\displaystyle \implies b>0}$), risulta che le condizioni poste affinché valga la disuguaglianza di Young sono equivalenti al fatto che ${\displaystyle {\frac {b^{q}}{q}}}$ sia la trasformata di Legendre di ${\displaystyle {\frac {a^{p}}{p}}}$. La dimostrazione della disuguaglianza diventa immediata; infatti, dalla definizione di trasformata di Legendre e di massimo di una funzione:

${\displaystyle ba-{\frac {a^{p}}{p}}\leq {\underset {a}{\max }}\left(ba-{\frac {a^{p}}{p}}\right)={\frac {b^{q}}{q}}\implies ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}.}$

Il procedimento utilizzato è del tutto generale, e non dipende dalla scelta di ${\displaystyle f}$, purché sia una funzione convessa. È immediato dimostrare che, in generale,

${\displaystyle px\leq f(x)+f^{\star }(p).}$

Bibliografia

• Vladimir I. Arnold, Metodi matematici della meccanica classica, Editori Riuniti, 2004, ISBN 88-359-5601-3.

Voci correlate

• Disuguaglianza di Hölder
• Trasformata di Legendre

Collegamenti esterni

• (EN) http://mathworld.wolfram.com/YoungsInequality.html - L'articolo di MathWorld sulla disuguaglianza di Young.

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