Disuguaglianza di Hölder

In matematica la disuguaglianza di Hölder è un risultato basilare di analisi funzionale. Essa si è impiegata spesso nello studio degli spazi di funzioni noti come spazi L^p.

La disuguaglianza fu provata in una forma leggermente diversa da Leonard James Rogers nel 1888, e riscoperta indipendentemente da Otto Hölder nel 1889, dal quale prende il nome.^[1]

La disuguaglianza

Sia ${\displaystyle \Omega }$ uno spazio di misura con misura ${\displaystyle \mu }$ e ${\displaystyle p\geq 1}$. Sia ${\displaystyle p'\geq 1}$ l'esponente coniugato di ${\displaystyle p}$, ovvero quel numero tale che

${\displaystyle {1 \over p}+{1 \over p'}=1}$

o equivalentemente tale che

${\displaystyle p+p'=pp'}$

Si definisce inoltre ${\displaystyle p'=\infty }$ se ${\displaystyle p=1}$.

La disuguaglianza afferma che, date due funzioni misurabili ${\displaystyle f\in L^{p}(\Omega )}$ e ${\displaystyle g\in L^{p'}(\Omega )}$, si ha che ${\displaystyle fg\in L^{1}(\Omega )}$ e:^[2]

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{p'}}$

Esplicitando la norma p-esima nel caso ${\displaystyle p>1}$ si ottiene la scrittura

${\displaystyle \int _{\Omega }|fg|d\mu \leq \left[\int _{\Omega }|f|^{p}d\mu \right]^{1 \over p}\left[\int _{\Omega }|g|^{p'}d\mu \right]^{1 \over {p'}}}$

La disuguaglianza coincide con la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz per ${\displaystyle p=p'=2}$. Il numero ${\displaystyle p'}$ è anche detto coniugato di Hölder di ${\displaystyle p}$.

Si dimostra che la disuguaglianza diviene un'uguaglianza se e solo se esistono due costanti ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$, non entrambe nulle, tali che:

${\displaystyle a|f|^{p}=b|g|^{p'}}$

quasi ovunque in ${\displaystyle \Omega }$.

Dimostrazione

Se uno dei due fattori del secondo membro (ad esempio ${\displaystyle \|f\|_{p}}$) è zero, allora vuol dire che ${\displaystyle f=0}$ quasi ovunque; dunque anche ${\displaystyle fg=0}$ quasi ovunque e quindi ${\displaystyle \|fg\|_{1}=0}$ e il risultato vale con il segno di uguaglianza. Se uno dei due indici (ad esempio ${\displaystyle p}$) è ${\displaystyle +\infty }$, allora è ${\displaystyle p'=1}$ e:

${\displaystyle |fg|\leq \|f\|_{\infty }|g|}$

quindi il risultato viene per monotonia dell'integrale di Lebesgue.

Altrimenti, per la disuguaglianza di Young vale che:

${\displaystyle {\frac {|f(x)|}{\|f\|_{p}}}\cdot {\frac {|g(x)|}{\|g\|_{p'}}}\leq {\frac {1}{p}}\left({\frac {|f(x)|}{\|f\|_{p}}}\right)^{p}+{\frac {1}{p'}}\left({\frac {|g(x)|}{\|g\|_{p'}}}\right)^{p'}}$

per quasi ogni ${\displaystyle x\in \Omega }$. Integrando entrambi i membri si ottiene:

${\displaystyle {\frac {1}{\|f\|_{p}\|g\|_{p'}}}\int _{\Omega }|fg|d\mu ={\frac {\|fg\|_{1}}{\|f\|_{p}\|g\|_{p'}}}\leq {\frac {\|f\|_{p}^{p}}{p\|f\|_{p}^{p}}}+{\frac {\|g\|_{p'}^{p'}}{p'\|g\|_{p'}^{p'}}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1}$

Disuguaglianza di Hölder per numeri reali

Nel caso molto particolare dello spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, la disuguaglianza prende la seguente forma:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|x_{i}y_{i}|\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{i=1}^{n}|y_{i}|^{p'}\right)^{\frac {1}{p'}}}$

Dimostrazione alternativa

Posti:

${\displaystyle a_{i}={\frac {|x_{i}|}{\left(\sum |x_{j}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}}}$

e:

${\displaystyle b_{i}={\frac {|y_{i}|}{\left(\sum |y_{j}|^{p'}\right)^{\frac {1}{p'}}}}}$

la disuguaglianza è:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\leq 1}$

Dalla concavità della funzione logaritmo si ha:

${\displaystyle \ln(a_{i}b_{i})={\frac {1}{p}}\ln \left(a_{i}^{p}\right)+{\frac {1}{p'}}\ln \left(b_{i}^{p'}\right)\leq \ln \left({\frac {1}{p}}a_{i}^{p}+{\frac {1}{p'}}b_{i}^{p'}\right)}$

quindi per monotonia:

${\displaystyle a_{i}b_{i}\leq {\frac {1}{p}}a_{i}^{p}+{\frac {1}{p'}}b_{i}^{p'}.}$

Sommando sull'indice ${\displaystyle i,}$ poiché ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{p}=1}$ e ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}b_{i}^{p'}=1}$, si ottiene la tesi.

Generalizzazione

Si può generalizzare il risultato con una tecnica dimostrativa simile, prendendo un numero finito qualsiasi di fattori, con indici opportuni: siano ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$ tali che ${\displaystyle f_{i}\in L^{p_{i}}}$, con:

${\displaystyle {\frac {1}{p}}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{p_{i}}}\leq 1}$

Allora:

${\displaystyle f=f_{1}f_{2}\dots f_{k}\in L^{p}}$

e si ha:

${\displaystyle \|f\|_{p}\leq \|f_{1}\|_{p_{1}}\|f_{2}\|_{p_{2}}\dots \|f_{k}\|_{p_{k}}}$

Generalizzazione nei numeri reali

Siano ${\displaystyle (a_{11},\ldots ,a_{1n}),(a_{21},\ldots ,a_{2n}),\ldots ,(a_{m1},\ldots ,a_{mn})}$ m n-uple di numeri reali e siano ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{m}}$ dei reali tali che:

${\displaystyle {\frac {1}{p_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{p_{m}}}=1}$

Allora:

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{1i}\cdot \ldots \cdot a_{mi}\right)\leq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{1i}^{p_{1}}\right)^{\frac {1}{p_{1}}}\cdot \ldots \cdot \left(\sum _{i=1}^{n}a_{mi}^{p_{m}}\right)^{\frac {1}{p_{m}}}}$

Una conseguenza importante di questa generalizzazione porta ad un primo risultato di immersione tra spazi ${\displaystyle L^{p}}$, la disuguaglianza di interpolazione. Se:

${\displaystyle f\in L^{p}\cap L^{q}}$

allora ${\displaystyle f\in L^{r}}$ per ogni ${\displaystyle p\leq r\leq q}$ e:

${\displaystyle \|f\|_{r}\leq \|f\|_{p}^{\alpha }\|f\|_{q}^{1-\alpha }}$

con ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$ tale che:

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {\alpha }{p}}+{\frac {1-\alpha }{q}}}$

Note

Bibliografia

• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
• Brezis, Analisi funzionale. Teoria e applicazioni, Liguori Editore, 2006, ISBN 978-88-207-1501-4.

Voci correlate

• Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
• Disuguaglianza di Young
• Disuguaglianza di Minkowski
• Disuguaglianza triangolare
• Spazio Lp

Collegamenti esterni

• (EN) L.P. Kuptsov, Hölder inequality, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) Kenneth Kuttler, An Introduction to Linear Algebra (PDF), Online e-book in PDF format, Brigham Young University, 2007.
• (EN) Arthur Lohwater, Introduction to Inequalities (PDF), 1982.

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