Transformare Legendre

Transformarea lui Legendre este o metodă de transformare a variabilelor. Permite trecerea de la o funcție de stare a unui sistem la o altă funcție, adaptată configurației sistemului. Are aplicații în special în termodinamică.

Preliminarii

În calcule, în locul unei funcții ${\displaystyle f(x)\,}$ este mai util de utilizat o transformată a acesteia, al cărei argument să fie chiar derivata funcției inițiale p = df/dx.

Prin transformarea indicată de Legendre se obține funcția:

${\displaystyle f^{\star }(p)=\mathrm {max} _{x}(px-f(x)).}$

Definiții

Pentru a obține maximul lui

${\displaystyle px-f(x)\,}$

se pune condiția ca derivata acesteia să fie zero:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(px-f(x)\right)=p-{\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}=0.\quad \quad (1)\,}$

Așadar maximul este atins când:

${\displaystyle p={\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2)}$.

Acesta este un maxim deoarece a doua derivată este negativă:

${\displaystyle {\mathrm {d} ^{2} \over \mathrm {d} x^{2}}(xp-f(x))=-{\mathrm {d} ^{2}f(x) \over \mathrm {d} x^{2}}<0,}$

deoarece s-a presupus că ${\displaystyle f}$ este convexă. Mai departe, din (2) se obține ${\displaystyle x}$ ca o funcție de ${\displaystyle p}$ și se introduce în (1). Se obține o formă mai utilă:

${\displaystyle f^{\star }(p)=p\,\,x(p)-f(x(p)).}$