余因子行列

数学の線形代数学において、n次正方行列 A の余因子行列（よいんしぎょうれつ、英: adjugate matrix）あるいは古典随伴行列（こてんずいはんぎょうれつ、英: classical adjoint matrix）とは、(i, j)成分が (i, j)余因子である行列の転置行列のことであり^[1]、記号で ${\displaystyle \operatorname {adj} (A)}$, ${\displaystyle \operatorname {Cof} (A)}$, ${\displaystyle {\widetilde {A}}}$^[2] などで表す。これはn次正方行列になる。

単に (i, j)成分が (i, j)余因子である行列（転置をしない）を「余因子行列」と呼ぶ場合もある。随伴行列や随伴作用素とは異なる。

余因子行列により、正則行列の逆行列を具体的に成分表示することができる。

定義

可換環 R 上の n次正方行列 A = (a_i,j) の余因子行列とは、(i, j)成分が (j, i)余因子である n次正方行列のことであり、記号で ${\displaystyle \operatorname {adj} (A)}$, ${\displaystyle {\widetilde {A}}}$^[2] などで表す。

A の (i,j)小行列式を M_i,j で表すことにする。これは、A の第i行、第j列を除いてできる (n − 1)次小正方行列の行列式である：

${\displaystyle \operatorname {adj} (A)=(b_{i,j}),\quad b_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{j,i}}$

A の (i,j)余因子を ~a_i,j で表すと、

${\displaystyle {\widetilde {a}}_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{i,j}}$

${\displaystyle \operatorname {adj} (A)=(b_{i,j}),\quad b_{i,j}=({\widetilde {a}}_{j,i})}$

A を余因子展開は、A の余因子行列 ~A により、次のように表せる：

${\displaystyle A{\widetilde {A}}={\widetilde {A}}A=(\det(A))I}$

ここで I は単位行列である。

A が特に正則行列のとき、A の逆行列は余因子行列 ~A で表せる：

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\widetilde {A}}}$

例

1次

1次正方行列 A = (a) の余因子行列は、A が零行列でないときは、1次単位行列

${\displaystyle I={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}}$

である。${\displaystyle \operatorname {adj} (0)}$ は慣習上 0 とする。

2次

2次正方行列

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$

の余因子行列は

${\displaystyle \operatorname {adj} (A)={\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}}$

なお、この 2次の場合は ${\displaystyle \operatorname {adj} \operatorname {adj} A=A}$ が成り立つ。

3次

3次正方行列

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}$

の余因子行列を考える。(i, j)成分に (i, j)余因子を並べたものは、

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}},}$

ここで

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{vmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{bmatrix}}=\det {\begin{vmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{vmatrix}}}$

である。余因子行列はこれの転置行列であるから、

${\displaystyle \operatorname {adj} (A)=C^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}}$

数値計算

例えば、実3次正方行列

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}-3&2&-5\\-1&0&-2\\3&-4&1\end{bmatrix}}}$

の余因子行列は、

${\displaystyle \operatorname {adj} A={\begin{bmatrix}-8&18&-4\\-5&12&-1\\4&-6&2\end{bmatrix}}}$

となる。実際、余因子行列の (2,3)成分は (3,2)余因子であり、それは (3,2)小行列式（第3行、第2列を除いた小行列の行列式）に符号を掛けたものに等しい：

${\displaystyle (-1)^{3+2}\operatorname {det} {\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}}=-(-3\cdot -2--5\cdot -1)=-1}$

性質

A を n次正方行列とする。

• ${\displaystyle \operatorname {adj} (O)=O}$（O は零正方行列）
• ${\displaystyle \operatorname {adj} (I)=I}$（I は単位行列）
• ${\displaystyle \operatorname {adj} (cA)=c^{n-1}\operatorname {adj} (A)}$（c はスカラー）
• ${\displaystyle \operatorname {adj} (A^{\mathsf {T}})=\operatorname {adj} (A)^{\mathsf {T}}}$（T は転置を表す）
• ${\displaystyle \det(\operatorname {adj} (A))=(\det A)^{n-1}}$
• A が正則なら、${\displaystyle \operatorname {adj} (A)=(\det A)A^{-1}}$

  これから次が導かれる：

  • adj(A) は正則で、その逆行列は(det A)⁻¹A
  • adj(A⁻¹) = adj(A)⁻¹.
• adj(A) の各成分は A の成分の多項式である。特に、実数体または複素数体上では、adj(A) の各成分は、A の成分の滑らかな関数である。

複素数体上では、

• ${\displaystyle \operatorname {adj} ({\overline {A}})={\overline {\operatorname {adj} (A)}}}$（  は複素共役を表す）
• ${\displaystyle \operatorname {adj} A^{*}=(\operatorname {adj} A)^{*}}$（* は随伴行列を表す）

B をもう1つの n次正方行列とする。

• ${\displaystyle \operatorname {adj} (AB)=\operatorname {adj} (B)\operatorname {adj} (A)}$

この証明には、2つの方法がある。1つは、コーシー・ビネの公式により直接計算する方法である。もう1つの方法は、正方行列 A, B に余因子展開の等式を利用する方法である：

${\displaystyle {\begin{aligned}(\det AB){\widetilde {AB}}&=(\det A)I\times (\det B)I\times {\widetilde {AB}}\\&=(\det A)I\times {\widetilde {B}}B\times {\widetilde {AB}}\\&={\widetilde {B}}\times (\det A)I\times B\times {\widetilde {AB}}\\&={\widetilde {B}}\times {\widetilde {A}}A\times B\times {\widetilde {AB}}\\&={\widetilde {B}}{\widetilde {A}}\times (AB){\widetilde {AB}}\\&={\widetilde {B}}{\widetilde {A}}\times \det(AB)I\\&=\det(AB){\widetilde {B}}{\widetilde {A}}\\\end{aligned}}}$

両辺を多項式として　det AB で割ると ~AB = ~B~A を得る。（証明終）

これより、行列の冪乗について次が成り立つ：

• ${\displaystyle \operatorname {adj} (A^{k})=(\operatorname {adj} A)^{k}}$（k は 0 以上の整数）
  • A が正則なら、この等式は k が負の整数の場合についても成り立つ。
• ${\displaystyle A\operatorname {adj} (A+B)B=B\operatorname {adj} (A+B)A}$

等式

${\displaystyle (A+B)\operatorname {adj} (A+B)B=\det(A+B)B=B\{\operatorname {adj} (A+B)\}(A+B)}$

から導かれる。

• rk(A) ≤ n − 2 のとき、adj(A) = O
• rk(A) = n − 1 のとき、rk(adj(A)) = 1

（A のある小行列式は 0 でない、故に adj(A) は 0 でなく、したがって、階数は 1 以上である。等式 adj(A) A = 0 は、adj(A) の核の次元は n − 1 以上であることを意味する。故に、adj(A) の階数は 1 以下である。）

このとき、adj(A) は次のように表せる：

adj(A) = xy^T（x, y は ${\displaystyle A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {o}}}$ かつ ${\displaystyle {}^{t}A{\boldsymbol {y}}={\boldsymbol {o}}}$ を満たすベクトルである）

列の置き換えとクラメルの公式

A の列ベクトル表示を

${\displaystyle A=({\boldsymbol {a}}_{1}\ \cdots \ {\boldsymbol {a}}_{n})}$

とし、b を n次列ベクトルとする。固定された 1 ≤ j ≤ n に対し、A の第 j列を b で置き換えた行列を次の記号で定義する：

${\displaystyle (A{\stackrel {j}{\leftarrow }}{\boldsymbol {b}})\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {a}}_{1}&\cdots &{\boldsymbol {a}}_{j-1}&{\boldsymbol {b}}&{\boldsymbol {a}}_{j+1}&\cdots &{\boldsymbol {a}}_{n}\end{pmatrix}}}$

この行列の行列式を第j列に関して余因子展開し、それらを集めてできる列ベクトルは、積 adj(A)b に等しくなる：

${\displaystyle \left(\det(A{\stackrel {j}{\leftarrow }}{\boldsymbol {b}})\right)_{j=1}^{n}=\operatorname {adj} (A){\boldsymbol {b}}}$

この等式は、具体的な結果を生む。線形方程式系

${\displaystyle A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}}$

を考える。A を正則と仮定する。この方程式に左から adj(A) を掛け、det(A) (≠ 0) で割ると

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\frac {1}{\det A}}(\operatorname {adj} A){\boldsymbol {b}}}$

ここでクラメルの公式を適用すると、

${\displaystyle x_{i}={\frac {\det(A{\stackrel {i}{\leftarrow }}{\boldsymbol {b}})}{\det A}}}$

ここで x_i は x の第i成分である。

固有多項式

A の固有多項式を

${\displaystyle p(s)=\det(sI-A)=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{n}p_{i}s^{i}\in R[s]}$

とすると、 p の第一差商は、n − 1次対称式になる：

${\displaystyle \Delta p(s,t)={\frac {p(s)-p(t)}{s-t}}=\textstyle \sum \limits _{0\leq j+k<n}p_{j+k+1}s^{j}t^{k}\in R[s,t]}$

sI − A の余因子行列積は、ケイリー・ハミルトンの定理 p(A) = O より、

${\displaystyle \operatorname {adj} (sI-A)=\Delta p(sI,A)}$

特に、A の レゾルベントは次の式で定義される：

${\displaystyle R(z;A)=(zI-A)^{-1}}$

さらに上記の等式より、これは次の式に等しい：

${\displaystyle R(z;A)={\frac {\Delta p(zI,A)}{p(z)}}}$

ヤコビの公式

行列式を微分すると、ヤコビの公式 (Jacobi's formula) により、余因子行列が現れる。A(t) は連続的微分可能なら、

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\det A(t))=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (A(t))A'(t)\right)}$

これより、行列式の全微分は、余因子行列の転置になる：

${\displaystyle d(\det A)_{A_{0}}=\operatorname {adj} (A_{0})^{\mathsf {T}}}$

ケイリー・ハミルトンの定理

p_A(t) を線形変換 A の固有多項式とする。ケイリー・ハミルトンの定理とは、t を A に置き換えて得られる正方行列が零行列になることをいう：

${\displaystyle p_{A}(A)=O}$

定数項を分離し両辺に adj(A) を掛けることで、余因子行列は A と p_A(t) の係数だけで表される。完全指数関数的ベル多項式を使うと、これらの係数はA の冪の跡の項で具体的に表せ、次のようになる：

${\displaystyle \operatorname {adj} (A)=\textstyle \sum \limits _{s=0}^{n-1}A^{s}\sum \limits _{k_{1},\cdots ,k_{n-1}}\prod \limits _{\ell =1}^{n-1}{\dfrac {(-1)^{k_{\ell }+1}}{\ell ^{k_{\ell }}k_{\ell }!}}\operatorname {tr} (A^{\ell })^{k_{\ell }}}$

ここで n は A の次数、総和 ∑ の s, 数列 k_l ≥ 0 は次の 1次ディオファントス方程式を満たしながら取るものとする：

${\displaystyle s+\textstyle \sum \limits _{\ell =1}^{n-1}\ell k_{\ell }=n-1}$

特に 2次の場合は、次のようになる：

${\displaystyle \operatorname {adj} (A)=I_{2}\left(\operatorname {tr} A\right)-A}$

3次の場合は

${\displaystyle \operatorname {adj} (A)={\frac {1}{2}}I_{3}\left((\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} A^{2}\right)-A\left(\operatorname {tr} A\right)+A^{2}}$

4次の場合は

${\displaystyle \operatorname {adj} (A)={\frac {1}{6}}I_{4}\left((\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} A\operatorname {tr} A^{2}+2\operatorname {tr} A^{3}\right)-{\frac {1}{2}}A\left((\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} A^{2}\right)+A^{2}\left(\operatorname {tr} A\right)-A^{3}}$

上記の表示式は、A の固有多項式を効率良く求めることのできる、Faddeev–LeVerrier algorithmの最後の段階からも直接導出することができる。

外積代数との関係

余因子行列は、外積代数の抽象的な用語を使うことで表示することができる。V を n次元ベクトル空間とする。ベクトルの外積により双線形対が得られる：

${\displaystyle V\times \wedge ^{n-1}V\to \wedge ^{n}V}$

ベクトルの外積は完全対である。それ故、それは同型写像を引き起こす：

${\displaystyle \phi \colon V\ \xrightarrow {\cong } \ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)}$

明示すると、この対は、v ∈ V を ${\displaystyle \phi _{\boldsymbol {v}}}$ に写す：

${\displaystyle \phi _{\boldsymbol {v}}(\alpha )={\boldsymbol {v}}\wedge \alpha \qquad (\alpha \in \wedge ^{n-1}V)}$

T : V → V を線形変換とする。T の(n − 1)次外冪による引き戻しは線形変換空間の射を作る。このとき T の余因子変換は次の合成で定義される：

${\displaystyle V\ \xrightarrow {\phi } \ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ \xrightarrow {(\wedge ^{n-1}T)^{*}} \ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ \xrightarrow {\phi ^{-1}} \ V}$

V = Rⁿ に 基底 (e₁, …, e_n) が与えられていて、T のこの基底に関する表現行列は A であるとき、T の余因子変換は A の余因子行列である。何故正しいのか考えてみるに、${\displaystyle \wedge ^{n-1}\mathbb {R} ^{n}}$ の基底を取る：

${\displaystyle \{{\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\boldsymbol {e}}}_{k}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n}\}_{k=1}^{n}}$

Rⁿ の基底元 e_i を固定する。e_i の ${\displaystyle \phi }$ による像は、${\displaystyle \wedge ^{n-1}\mathbb {R} ^{n}}$ の基底ベクトルの移る先を決定する：

${\displaystyle \phi _{{\boldsymbol {e}}_{i}}({\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\boldsymbol {e}}}_{k}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n})={\begin{cases}(-1)^{i-1}{\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n},&{\text{if}}\ k=i,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

この基底で、T の (n − 1)次外冪 ${\displaystyle (\wedge ^{n-1}T)^{*}}$ は次のように表せる：

${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\boldsymbol {e}}}_{j}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n}\mapsto \textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}(\det A_{jk})\,{\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\boldsymbol {e}}}_{k}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n}}$

これらのそれぞれの項の ${\displaystyle \phi _{{\boldsymbol {e}}_{i}}}$ による像は、k = i の項を除いて 0 になる。それ故、${\displaystyle \phi _{{\boldsymbol {e}}_{i}}}$ の引き戻しは次の線形写像になる：

${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\boldsymbol {e}}}_{j}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n}\mapsto (-1)^{i-1}(\det A_{ji}){\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n}}$

これは次に等しくなる：

${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(\det A_{ji})\phi _{{\boldsymbol {e}}_{j}}}$

${\displaystyle \phi }$ の逆写像を適用することより、T の余因子変換は次の式で与えられる線形変換であると分かる：

${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}\mapsto \textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(\det A_{ji}){\boldsymbol {e}}_{j}}$

故に、その表現行列は A の余因子行列である。

V に内積と体積形式が与えられていたら、この写像 φ はさらに分解される。この場合、φ はホッジ双対と双対化の合成ととらえることができる。特に、ω が体積形式のとき、それは内積とともに同型写像を引き起こす：

${\displaystyle \omega ^{\vee }\colon \wedge ^{n}V\to \mathbb {R} }$

これは同型写像を引き起こす：

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}\mathbb {R} ^{n},\wedge ^{n}\mathbb {R} ^{n})\cong \wedge ^{n-1}(\mathbb {R} ^{n})^{\vee }}$

v ∈ Rⁿ は次の線型汎函数に一致する：

${\displaystyle (\alpha \mapsto \omega ^{\vee }(\mathbf {v} \wedge \alpha ))\in \wedge ^{n-1}(\mathbb {R} ^{n})^{\vee }}$

ホッジ双対の定義により、この線型汎函数は *v と双対である。つまり、ω^∨ ∘ φ は v ↦ *v^∨ と見なせる。

高階余因子行列

A を n次正方行列とし、r ≥ 0 を固定する。A の r階余因子行列とは、${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{r}}}$次正方行列であり、adj_r A で表す。その成分は {1, …, m} の r 個元からなる部分集合 I, J から番号を取るものとする。I^c, J^c はそれぞれ I, J の補集合を表すものとする。${\displaystyle A_{I^{c},J^{c}}}$ は、行番号、列番号がそれぞれ I^c, J^c から取られる、A の小行列を表すとする。adj_r A の (I, J) 成分は次の式で定義される：

${\displaystyle (-1)^{\sigma (I)+\sigma (J)}\det A_{J^{c},I^{c}}}$

ここで σ(I), σ(J) はそれぞれ I, J の元の総和を表すとする。

高階余因子行列の基本的な性質として以下がある：

• adj₀(A) = det A
• adj₁(A) = adj A
• adj_n(A) = 1
• adj_r(BA) = adj_r(A) adj_r(B)
• ${\displaystyle \operatorname {adj} _{r}(A)C_{r}(A)=C_{r}(A)\operatorname {adj} _{r}(A)=(\det A)I_{\binom {n}{r}}}$（C_r(A) は r次複合行列を表す）

高階余因子行列は通常の余因子行列と同様に、抽象代数学の言葉を用いても定義できる。${\displaystyle V}$, ${\displaystyle \wedge ^{n-1}V}$ をそれぞれ ${\displaystyle \wedge ^{r}V}$, ${\displaystyle \wedge ^{n-r}V}$ に置き換えることでできる。

余因子行列の反復合成

正則行列 A について、余因子行列の反復合成を取ることにより、r次余因子行列を考えることができる：

${\displaystyle \underbrace {\operatorname {adj} \cdots \operatorname {adj} } _{k}\,A=(\det A)^{\frac {(n-1)^{k}-(-1)^{k}}{n}}A^{(-1)^{k}}}$

${\displaystyle \det(\underbrace {\operatorname {adj} \cdots \operatorname {adj} } _{k}\,A)=(\det A)^{(n-1)^{k}}}$

例えば、

${\displaystyle \operatorname {adj} \operatorname {adj} A=(\det A)^{n-2}A}$

${\displaystyle \det(\operatorname {adj} \operatorname {adj} A)=(\det A)^{(n-1)^{2}}}$

関連項目

• 小行列式
• 余因子展開
• ケイリー・ハミルトンの定理
• クラメルの公式
• en:Trace diagram
• en:Jacobi's formula
• en:Faddeev–LeVerrier algorithm

参照

参考文献

• Roger A. Horn and Charles R. Johnson (2013), Matrix Analysis, Second Edition. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6
• Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1

外部リンク

• Matrix Reference Manual
• Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose) - © Rene Vapenik 2008 Compute Adjugate matrix up to order 8
• adjugate of { { a, b, c }, { d, e, f }, { g, h, i } } - Wolfram|Alpha