Estensione separabile

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In matematica, un'estensione separabile è un'estensione di campi algebrica ${\displaystyle K\subseteq L}$ in cui il polinomio minimo di ogni elemento di ${\displaystyle L}$ è un polinomio separabile. Un'estensione non separabile è detta inseparabile.

Le estensioni separabili sono particolarmente importanti nella teoria di Galois: infatti il teorema di corrispondenza di Galois, che è al centro della teoria, vale per estensioni finite che sono separabili e normali (dette estensioni di Galois).

Se la caratteristica di ${\displaystyle K}$ è 0, allora tutte le estensioni algebriche di ${\displaystyle K}$ sono separabili. Se la caratteristica è un numero primo ${\displaystyle p}$, invece, possono esistere estensioni non separabili: ad esempio, l'estensione ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}(X^{p})\subseteq \mathbb {Z} _{p}(X)}$ non è separabile, perché il polinomio minimo di ${\displaystyle X}$ su ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}(X^{p})}$ è ${\displaystyle T^{p}-X^{p}}$, che non è separabile. Se tutte le estensioni algebriche di ${\displaystyle K}$ sono separabili, allora ${\displaystyle K}$ è detto essere un campo perfetto; per quanto detto sopra, ogni campo di caratteristica 0 è perfetto. Se invece ${\displaystyle K}$ ha caratteristica ${\displaystyle p}$ allora è perfetto se e solo se ogni elemento ha una radice ${\displaystyle p}$-esima nel campo (cioè il suo endomorfismo di Frobenius è suriettivo); ad esempio, ogni campo finito è perfetto.

La chiusura separabile di un campo

L'insieme di tutti gli elementi di ${\displaystyle L}$ separabili su ${\displaystyle K}$ è un campo, indicato con ${\displaystyle K_{s}}$, e detto chiusura separabile di ${\displaystyle K}$ in ${\displaystyle L}$; ${\displaystyle K\subseteq L}$ è un'estensione separabile se e solo se la chiusura separabile è esattamente ${\displaystyle L}$. Il grado ${\displaystyle [K_{s}:K]}$ è detto grado di separabilità di ${\displaystyle K\subseteq L}$, mentre il quoziente ${\displaystyle [L:K]/[K_{s}:K]}$ è detto grado di inseparabilità. Quest'ultimo può essere pensato come un modo per "misurare" quanto un'estensione è lontana dall'essere separabile.

Bibliografia

• Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Estensione separabile, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Estensione separabile, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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