Endomorfismo di Frobenius

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In algebra astratta, l'endomorfismo di Frobenius è uno speciale omomorfismo di anelli, definito solo per anelli con caratteristica positiva. Prende il nome da Ferdinand Georg Frobenius. La sua definizione si basa su un teorema che afferma che:

Se ${\displaystyle A}$ è un anello commutativo con caratteristica ${\displaystyle p}$, con ${\displaystyle p}$ numero primo, allora ${\displaystyle (a+b)^{p}=a^{p}+b^{p}}$, per ogni ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ appartenenti ad ${\displaystyle A}$.

cioè che l'applicazione

${\displaystyle F(a)=a^{p}}$

preserva l'operazione di somma. Dopotutto, essa soddisfa anche le proprietà ${\displaystyle F(ab)=F(a)F(b)}$ e ${\displaystyle F(1)=1}$, dunque si caratterizza come un endomorfismo di ${\displaystyle A}$ in sé ed è pertanto detta endomorfismo di Frobenius.

Dimostrazione del teorema

Per il teorema binomiale vale che

${\displaystyle (a+b)_{}^{p}=\sum _{k=0}^{p}{p \choose k}a^{p-k}b^{k}}$

Ma se ${\displaystyle 0<k<p}$, il coefficiente ${\displaystyle {p \choose k}}$ contiene il fattore ${\displaystyle p}$ e dunque in caratteristica ${\displaystyle p}$ è uguale a 0. Pertanto rimangono solo i termini finali dell'espansione, cioè ${\displaystyle a^{p}}$ e ${\displaystyle b^{p}}$.

Esempi

1. Sia ${\displaystyle A}$ un anello con caratteristica 2:

   ${\displaystyle (3+2)^{2}=5^{2}=25}$ e ${\displaystyle 3^{2}+2^{2}=9+4=13}$

   Essendo un anello con caratteristica 2, per le proprietà dell'aritmetica modulare si ha:

   ${\displaystyle 25\mod 2=13\mod 2=1}$

2. Sia ${\displaystyle A}$ un anello con caratteristica 3:

   ${\displaystyle (4+3)^{3}=7^{3}=343}$ e ${\displaystyle 4^{3}+3^{3}=64+27=91}$

   Essendo un anello con caratteristica 3, per le proprietà dell'aritmetica modulare si ha:

   ${\displaystyle 343\mod 3=91\mod 3=1}$

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