Momentul forței

Momentul forței este o mărime fizică vectorială ce exprimă cantitativ capacitatea forței de a roti un rigid in jurul unei drepte ce trece printr-un punct și este perpendiculara pe planul format de dreapta suport a forței și punctul respectiv. Este important în funcționarea unor aparate de zbor ca de exemplu elicopterul.

Momentul unei forțe în raport cu un punct

Momentul forței ${\vec {F}}$ , care acționează asupra unui solid rigid ,în raport cu punctul O, numit pol, este o mărime vectorială notată cu ${\vec {M}}_{0}({\vec {F}})$ sau mai simplu notată cu ${\vec {M}}_{0}$ și reprezintă produsul vectorial dintre vectorul de poziție care unește punctul O cu un punct oarecare de pe suportul forței și forță:

{\vec {M}}_{0}={\vec {r}}\times {\vec {F}}=r\cdot F\cdot \sin(t)\cdot {\vec {u}}=F\cdot d\cdot {\vec {u}}

unde:

t

este unghiul dintre

{\vec {r}}

și

{\vec {F}}

d=r\cdot \sin(t)

și este brațul forței F fața de punctul O , care reprezintă distanța de la punctul O până la dreapta suport a forței F, adică lungimea perpendicularei dusă din punctul O pe dreapta suport a forței F.

Momentul unei forțe ${\vec {F}}$ în raport cu un punct O se exprimă analitic în raport cu sistemul de referință cartezian triortogonal drept OXZY prin relația:

${\vec {M}}_{o}({\vec {F}})={\vec {r}}\times {\vec {F}}={\begin{bmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\x&y&z\\X&Y&Z\end{bmatrix}}=(y\cdot Z-z\cdot Y)\cdot {\vec {i}}+(z\cdot X-x\cdot Z)\cdot {\vec {j}}+(x\cdot Y-y\cdot X)\cdot {\vec {k}}$

${\vec {M}}_{o}({\vec {F}})=M_{x}\cdot {\vec {i}}+M_{y}\cdot {\vec {j}}+M_{z}\cdot {\vec {k}}$

unde:

M_{x}=y\cdot Z+z\cdot Y

M_{y}=z\cdot X-x\cdot Z

M_{z}=x\cdot Y-y\cdot X

sunt proiecțiile momentului forței F in raport cu punctul O pe axele Ox , Oy si Oz

Caracteristicile vectorului moment:

punctul de aplicație este în O, ceea ce înseamnă ca vectorul moment este un vector legat;
direcția este normală pe planul format de O și suportul forței;
sensul este corespunzător triedrului drept;
mărimea (modulul) acestuia este:

|{\vec {M}}_{0}|=|{\vec {F}}|\cdot d,

unde d = OB se numește brațul forței și reprezinta lungimea perpendicularei dusă din O pe dreapta suport a forței.

Proprietăți

Momentul unei forțe în raport cu un punct arbitrar de pe dreapta suport a forței este întotdeauna nul.

{\vec {M}}_{A}({\vec {F}})={\vec {AB}}\times {\vec {F}}=0

,deoarece

{\vec {AB}}

{\vec {F}}

sunt coliniari.

Momentul unei forțe în raport cu un punct care nu aparține dreptei suport al forței este intotdeauna constant la alunecarea forței pe dreapta sa suport.

Demonstrație:

${\vec {M}}_{o}({\vec {F}})={\vec {OA}}\times {\vec {F}}=({\vec {OB}}+{\vec {BA}})\times {\vec {F}}={\vec {OB}}\times {\vec {F}}+{\vec {BA}}\times {\vec {F}}={\vec {OB}}\times {\vec {F}}$

deoarece BA și F sunt vectori coliniari.

Punctul O se deplasează pe o dreaptă paralelă cu (Δ).
Momentul unei forțe se schimbă dacă se schimbă polul din O în O₁:

{\vec {M}}_{01}={\vec {O_{1}A}}\times {\vec {F}}=({\vec {O_{1}O}}+{\vec {OA}})\times {\vec {F}}={\vec {M}}_{0}+{\vec {O_{1}O}}\times F.

iar

{\vec {M}}_{o1}({\vec {F}})={\vec {M}}_{o}({\vec {F}})+{\vec {O_{1}O}}\times {\vec {F}}

este legea de variație a momentului unei forțe la schimbarea punctului in raport cu care este calculat.

Momentul unei forțe în raport cu o axă

Momentul unei forțe în raport cu o axă, de versor ${\vec {u}},$ este proiecția pe acea axă a momentului forței calculat în raport cu un punct oarecare al axei respective:

M_{\Delta }={\vec {M}}_{0}\cdot {\vec {u}}=({\vec {r}}\times {\vec {F}})\cdot {\vec {u}}.

Proprietăți

$M_{\Delta }=0$ dacă cei trei vectori sunt coplanari: forța este paralelă cu axa Δ sau suportul forței intersectează axa.
$M_{\Delta }=0$ nu depinde de alegerea punctului O pe axa Δ:

Astfel, dacă se consideră un alt punct O₁:

M'_{\Delta }=({\vec {O_{1}A}}\times {\vec {F}})\cdot {\vec {u}}=[({\vec {O_{1}O}}+{\vec {r}})\times {\vec {F}}]\cdot {\vec {u}}=M_{\Delta }.

Momentul unei forțe în raport cu o axă Δ este egal cu mărime momentului produs de componenta forței dintr-un plan normal pe axă, calculat în raport cu punctul în care axa Δ intersectează planul normal:

M_{\Delta }=({\vec {OA}}\times {\vec {F}})\cdot {\vec {u}}=[{\vec {OA}}\times ({\vec {F}}_{\perp }+{\vec {F}}_{\|})]\cdot u=({\vec {OA}}\times {\vec {F}}_{\perp })\cdot {\vec {u}}=\pm |{\vec {r}}\times {\vec {F}}_{\perp }|.

Terminologie

Momentul forței este tradițional notat de fizicienii români cu M_F, spre deosebire de fizicienii anglofoni, care îl notează cu litera greacă tau (τ).
O formă tehnică a momentului forței e un cuplu de forțe constând din două forțe antagoniste acționând diametral la capetele aceluiași braț, dând momentul: