Cubica Tschirnhausen

Cubica Tschirnhausen pentru cazul a = 1

În geometria algebrică cubica Tschirnhausen este o curbă plană, definită în forma sa cu deschiderea la stânga de ecuația polară

r = a sec 3 ⁡ ( θ 3 ) {\displaystyle r=a\sec ^{3}\left({\frac {\theta }{3}}\right)}

unde sec este funcția secantă.[1]

Este o trisectoare.[1]

Istoric

Curba a fost studiată de Ehrenfried Walther von Tschirnhaus, Guillaume de l'Hôpital și Eugène Charles Catalan. Numele de „cubica Tschirnhausen” i-a fost dat de către Raymond Clare Archibald într-o lucrare din 1900. Mai este cunoscută sub numele de „cubica lui L'Hôpital” sau „curba trisectoare a lui Catalan”, care i-a stabilit expresia în coordonate carteziene.[1]

Alte relații

Fie t = tan ⁡ ( θ / 3 ) {\displaystyle t=\tan(\theta /3)} . Aplicând formula lui Moivre se obține[1]

x = a cos ⁡ θ sec 3 ⁡ θ 3 = a ( cos 3 ⁡ θ 3 − 3 cos ⁡ θ 3 sin 2 ⁡ θ 3 ) sec 3 ⁡ θ 3 = a ( 1 − 3 tan 2 ⁡ θ 3 ) {\displaystyle x=a\cos \theta \sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}\sin ^{2}{\frac {\theta }{3}}\right)\sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(1-3\tan ^{2}{\frac {\theta }{3}}\right)}
= a ( 1 − 3 t 2 ) {\displaystyle =a(1-3t^{2})}
y = a sin ⁡ θ sec 3 ⁡ θ 3 = a ( 3 cos 2 ⁡ θ 3 sin ⁡ θ 3 − sin 3 ⁡ θ 3 ) sec 3 ⁡ θ 3 = a ( 3 tan ⁡ θ 3 − tan 3 ⁡ θ 3 ) {\displaystyle y=a\sin \theta \sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(3\cos ^{2}{\frac {\theta }{3}}\sin {\frac {\theta }{3}}-\sin ^{3}{\frac {\theta }{3}}\right)\sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(3\tan {\frac {\theta }{3}}-\tan ^{3}{\frac {\theta }{3}}\right)}
= a t ( 3 − t 2 ) {\displaystyle =at(3-t^{2})}

forma parametrică a curbei. În coordonate carteziene parametrul t poate fi eliminat ușor, obținându-se[1]

27 a y 2 = ( a − x ) ( 8 a + x ) 2 {\displaystyle 27ay^{2}=(a-x)(8a+x)^{2}} .

Dacă curba este translată orizontal cu 8a și semnele variabilelor sunt modificate, ecuațiile curbei care rezultă cu deschidere la dreapta sunt[1]

x = 3 a ( 3 − t 2 ) {\displaystyle x=3a(3-t^{2})}
y = a t ( 3 − t 2 ) {\displaystyle y=at(3-t^{2})}

și în coordonate carteziene

x 3 = 9 a ( x 2 − 3 y 2 ) {\displaystyle x^{3}=9a\left(x^{2}-3y^{2}\right)} .

Asta dă forma alternativă în coordonate polare

r = 9 a ( sec ⁡ θ − 3 sec ⁡ θ tan 2 ⁡ θ ) {\displaystyle r=9a\left(\sec \theta -3\sec \theta \tan ^{2}\theta \right)} .

Generalizare

Cubica Tschirnhausen este o spirală sinusoidală cu n = − 1 / 3 {\displaystyle n=-1/3} .

Note

  1. ^ a b c d e f en Lawrence, J. Dennis (). A catalog of special plane curvesNecesită înregistrare gratuită. Dover Publications. p. 87–90. ISBN 0-486-60288-5. 

Vezi și

Legături externe

  • en Eric W. Weisstein, Tschirnhausen Cubic la MathWorld.
Portal icon Portal Matematică