Câmp vectorial

În matematică un câmp vectorial, sau un câmp de vectori este o construcție din calculul vectorial care asociază un vector fiecărui punct dintr-un spațiu euclidian.

Câmpurile vectoriale sunt adesea utilizate în fizică pentru a modela, de exemplu, viteza și direcția de curgere a unui fluid prin spațiu, sau modulul și direcția unei forțe, cum ar fi forța magnetică sau gravitațională, și variațiile acestora de la punct la punct.

Definiție matematică

Funcția vectorială:

${\displaystyle {\vec {v}}(P)={\vec {v}}(x,y,z)}$

${\displaystyle (1.1)}$

definită pentru punct  ${\displaystyle P(x,y,z)\in D}$  (unde  ${\displaystyle D}$  este o submulțime a spațiului euclidian  ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{3}}$ ) se numește câmp vectorial.

Linii și suprafețe de câmp

O curbă  ${\displaystyle (\Gamma )}$  situată în  ${\displaystyle D}$  se numește linie de câmp pentru câmpul vectorial  ${\displaystyle {\vec {v}}(P)}$  dacă în fiecare punct  ${\displaystyle P}$  al său vectorul  ${\displaystyle {\vec {v}}(P)}$  este tangent curbei.

Liniile de câmp sunt soluțiile ecuației diferențale vectoriale:

${\displaystyle {\vec {v}}\times d{\vec {r}}=0}$

${\displaystyle (2.1)}$

sau ale sistemului diferențial:

${\displaystyle {\frac {dx}{v_{1}(x,y,z)}}={\frac {dy}{v_{2}(x,y,z)}}={\frac {dz}{v_{3}(x,y,z)}}.}$

${\displaystyle (2.2)}$

O suprafață generată de liniile de câmp e numește suprafață de câmp.

Dacă  ${\displaystyle F_{1}(x,y,z)=C_{1},\;F_{2}(x,y,z)=C_{2},\;(C_{1},C_{2}=const),}$  sunt soluții ale sistemului (2.2), atunci:

${\displaystyle \Phi (F_{1},F_{2})=0}$

${\displaystyle (2.3)}$

este o suprafață de câmp.

Divergență, rotor, gradient

Expresia:

${\displaystyle div\;{\vec {v}}={\vec {i}}\cdot {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial x}}+{\vec {j}}\cdot {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial y}}+{\vec {k}}\cdot {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial z}}}$

${\displaystyle (3.1)}$

se numește divergența câmpului vectorial diferențiabil  ${\displaystyle {\vec {v}}(P).}$

Notând  ${\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}}$  componentele câmpului vectorial  ${\displaystyle {\vec {v}}(P),}$  divergența se exprimă prin egalitatea:

${\displaystyle div\;{\vec {v}}={\frac {\partial v_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{3}}{\partial z}}.}$

${\displaystyle (3.2)}$

Vectorul de componente:

${\displaystyle {\frac {\partial v_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial v_{2}}{\partial z}},\;{\frac {\partial v_{1}}{\partial z}}-{\frac {\partial v_{3}}{\partial x}},\;{\frac {\partial v_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{1}}{\partial y}}}$

${\displaystyle (3.3)}$

se numește rotorul câmpului vectorial diferențiabil  ${\displaystyle {\vec {v}}(P)}$ și se notează  ${\displaystyle rot\;{\vec {v}}.}$ 

Există relația:

${\displaystyle rot\;{\vec {v}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}}$

${\displaystyle (3.4)}$

și

${\displaystyle rot\;{\vec {v}}=\nabla \times {\vec {v}},}$

${\displaystyle (3.5)}$

unde  ${\displaystyle \nabla }$  este operatorul nabla.

Relații între operatori

${\displaystyle grad(\varphi +\psi )=grad\;\varphi +grad\;\psi ,}$

${\displaystyle (4.1)}$

${\displaystyle grad(\varphi \cdot \psi )=\varphi \cdot grad\;\psi +\psi \cdot grad\;\varphi ,}$

${\displaystyle (4.2)}$

${\displaystyle div({\vec {u}}+{\vec {v}})=div\;{\vec {u}}+div\;{\vec {v}},}$

${\displaystyle (4.3)}$

${\displaystyle div(\varphi \cdot {\vec {v}})=\varphi \cdot div\;{\vec {v}}+{\vec {v}}\cdot grad\;\varphi ,}$

${\displaystyle (4.4)}$

${\displaystyle div({\vec {u}}\times {\vec {v}})={\vec {v}}\cdot rot\;{\vec {u}}-{\vec {u}}\cdot rot\;{\vec {v}},}$

${\displaystyle (4.5)}$

${\displaystyle rot({\vec {u}}+{\vec {v}})=rot\;{\vec {u}}+rot\;{\vec {v}},}$

${\displaystyle (4.6)}$

${\displaystyle rot(\varphi \cdot {\vec {v}})=\varphi \cdot rot\;{\vec {v}}-{\vec {v}}\times grad\;\varphi ,}$

${\displaystyle (4.7)}$

${\displaystyle grad({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})={\vec {v}}\times rot\;{\vec {u}}+{\vec {u}}\times rot\;{\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }})\cdot {\vec {u}}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})\cdot {\vec {v}},}$

${\displaystyle (4.8)}$

${\displaystyle rot({\vec {u}}\times {\vec {v}})={\vec {u}}\cdot div\;{\vec {v}}-{\vec {v}}\cdot div\;{\vec {u}}+({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }})\cdot {\vec {u}}-({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})\cdot {\vec {v}},}$

${\displaystyle (4.9)}$

${\displaystyle div(grad\;\varphi )={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}=\Delta \varphi ,}$

${\displaystyle (4.10)}$

${\displaystyle rot(grad\;\varphi )=0,}$

${\displaystyle (4.11)}$

${\displaystyle div(rot\;{\vec {v}})=0,}$

${\displaystyle (4.12)}$

${\displaystyle rot(rot\;{\vec {v}})=grad(div\;{\vec {v}})-\Delta {\vec {v}}.}$

${\displaystyle (4.13)}$

Exemplu

Să se determine liniile de câmp ale câmpului vectorial definit prin vectorul:

${\displaystyle {\vec {v}}=xy^{2}\cdot {\vec {i}}+x^{2}y\cdot {\vec {j}}+z(x^{2}+y^{2})\cdot {\vec {k}}}$

${\displaystyle (5.1)}$

și suprafața de câmp care trece prin curba:

${\displaystyle x=2y,\;z=a.}$

${\displaystyle (5.2)}$

Rezolvare. Sistemul diferențial al liniilor de câmp este:

${\displaystyle {\frac {dx}{xy^{2}}}={\frac {dy}{yx^{2}}}={\frac {dz}{z(x^{2}+y^{2})}}}$

${\displaystyle (5.3)}$

și se reduce la:

${\displaystyle {\begin{cases}x\cdot dx-y\cdot dy=0\\{\frac {dx}{x}}+{\frac {dy}{y}}={\frac {dz}{z}}\end{cases}}}$

${\displaystyle (5.4)}$

Prin integrare se obțin ecuațiile liniilor de câmp:

${\displaystyle x^{2}-y^{2}=C_{1}}$ ${\displaystyle {\frac {z}{xy}}=C_{2}.}$

${\displaystyle (5.5)}$

Se pune condiția ca o linie de câmp să intersecteze curba (5.2). Din prima ecuație de la (5.5), folosind ecuația  ${\displaystyle x=2y,}$  se obține  ${\displaystyle y^{2}={\frac {C_{1}}{3}},}$  iar din ecuația a doua de la (5.5), folosind ecuațiile (5.2) se obține  ${\displaystyle y^{2}={\frac {a}{2C_{2}}}.}$ 

Din relațiile  ${\displaystyle y^{2}={\frac {C_{1}}{3}}}$  și  ${\displaystyle y^{2}={\frac {a}{2C_{2}}}}$  se obține relația de condiție  ${\displaystyle 2C_{1}C_{2}=3a.}$ 

Suprafața de câmp se obține prin eliminarea parametrilor  ${\displaystyle C_{1}}$  și  ${\displaystyle C_{2}}$  între ecuațiile liniilor de câmp și această relație:

${\displaystyle 2z(x^{2}-y^{2})-3axy=0.}$

${\displaystyle (5.6)}$

Vezi și

• Câmp scalar