Analiză dimensională

Analiza dimensională este un instrument de principiu folosit în fizică, chimie și tehnică la înțelegerea situațiilor care implică utilizarea combinată a mai multor mărimi fizice. Este un instrument uzual al oamenilor de știință și inginerilor pentru a verifica plauzibilitatea diferitelor tipuri de unități de măsură derivate, a consistenței ecuațiilor și a metodelor de calcul. Este folosită de asemenea pentru a face ipoteze pertinente asupra fenomenelor fizice care să fie verificate experimental sau prin teorii mai evoluate.

Metoda de lucru algebric cu dimensiuni

• verificarea corectitudinii scrierii relațiilor fizice;
• obține rezultate noi din considerente pur dimensionale;

Principiul omogenității

Orice relație fizică (între mărimi) trebuie să treacă într-o relație matematică între numere. Pentru acestea termenii unei relații trebuie să fie omogeni = să aibă aceaṣi dimensiune = echidimensionali

Teorema invarianței

Pentru ca o relație fizică să fie invariantă la schimbarea unității de măsură este necesar ca mărimile derivate să se exprime în funcție de mărimile fundamentale ca un produs de puteri.

Exemplu

Fie ${\displaystyle f(m,v,E_{c})=0\,}$, o relație funcțională pentru energia cinetică a punctului material, unde: ${\displaystyle m\,}$ este masa, ${\displaystyle v\,}$ este viteza și ${\displaystyle E_{c}\,}$ este energia cinetică.

Mărimi fundamentale pentru ${\displaystyle E_{c}\,}$: ${\displaystyle m\,}$, ${\displaystyle v\,}$

Mărimea derivată: ${\displaystyle E_{c}\,}$.

${\displaystyle E_{c}=m^{r_{1}}v^{r_{2}}\,}$

${\displaystyle [E_{c}]=ML^{2}T^{-2};\quad [m]=M;\quad [v]=LT^{-1}}$

${\displaystyle ML^{2}T^{-2}={(M)}^{r_{1}}{(LT^{-1})}^{r_{2}}}$

deci ${\displaystyle r_{1}=1;r_{2}=2\,}$

${\displaystyle \Rightarrow E_{c}=Ct\cdot mv^{2}}$

unde ${\displaystyle Ct}$ este o constantă.

Teorema Produselor

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{i},y_{k+1},\dots ,y_{k+j},\dots ,y_{n})=0}$

${\displaystyle f(\prod _{i=1}^{N}\dots \prod _{i=N-k}^{N})=0}$

unde ${\displaystyle \prod _{i=N-k}^{N}}$ - complexe adimensionale; k-rangul matricii dimensionale

${\displaystyle x_{1}\dots x_{i}\dots x_{k}\dots x_{n}}$

${\displaystyle [x_{i}]=L^{\alpha i}M^{\beta i}\dots }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\cdots &\alpha _{n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\dots &\cdots &\dots \end{bmatrix}}\!}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\prod _{a}\end{matrix}}={\frac {a}{\prod fundamentale}}}$

Exemplu (Similitudine)

Acceleraṭia căderii libere a unui corp la suprafaṭa unui astru sferic omogen de rază R și masă m depinde de: m, R, k unde k este constanta atracției universale. Dacă pentru un astru cu raza R ṣi masa m corpurile cad liber cu accelerația g=10 m/s la pătrat, cu ce accelerație vor cădea corpurile la suprafața unui astru cu raza R'=R/2 și de masă m'=m/10? (Planeta Marte).

• Rezolvare:

${\displaystyle g=f(m,R,K)\!}$

${\displaystyle [g]=LT^{-2};[m]=M;[k]=L^{3}T^{-2}M^{-1}}$

${\displaystyle f(m,R,K,g)=0\rightharpoondown n=4}$

${\displaystyle rang=3;k=3;n-k=1}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\prod _{g}\end{matrix}}={\frac {g}{m^{r_{1}}R^{r_{2}}k^{r_{3}}}}}$

${\displaystyle r_{2}+3r_{3}=1;r_{1}-r_{3}=0;-2r_{3}=-2}$

${\displaystyle r_{3}=1;r_{1}=1;r_{2}=-2}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\prod _{g}\end{matrix}}={\frac {gR^{2}}{mk}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\prod _{g}'\end{matrix}}={\frac {g'R'^{2}}{m'k'}}}$

• Din Teorema lui Newton:

${\displaystyle {\begin{matrix}\prod _{g}'\end{matrix}}={\begin{matrix}\prod _{g}\end{matrix}}}$

${\displaystyle {\frac {gR^{2}}{mk}}={\frac {g'R'^{2}}{m'k'}}}$

${\displaystyle {\frac {gR^{2}}{mk}}={\frac {g'R'^{2}}{m'k'}}}$

${\displaystyle {\frac {gR^{2}}{mk}}={\frac {g{\frac {R^{2}}{4}}}{{\frac {m}{10}}k}}}$

${\displaystyle \Rightarrow g'=4{\frac {m}{s^{2}}}}$

Bibliografie

• Curs de fizică I UTCB - Construcții Civile

Portal Fizică