Twierdzenie Salmona

Twierdzenie Salmona – twierdzenie planimetrii: Jeśli z punktu leżącego na okręgu poprowadzono trzy cięciwy i na każdej z nich jako na średnicy zbudowano okrąg, to okręgi te przecinają się parami w trzech punktach leżących na jednej prostej^[1].

Dowód

Niech ${\displaystyle M,A,B,C}$ oznaczają odpowiednio: dany punkt i końce danych trzech cięciw. Oczywiście leżą one na okręgu, nazwijmy go ${\displaystyle \pi .}$ Załóżmy, bez szkody dla ogólności, że leżą one na tym okręgu w tej właśnie kolejności.
Okręgi opisane na średnicach ${\displaystyle MA,MB,MC}$ oznaczmy jako ${\displaystyle \pi _{A},\pi _{B},\pi _{C}.}$

Przecięcia par okręgów ${\displaystyle \pi _{A},\pi _{B};\pi _{B},\pi _{C};\pi _{C},\pi _{A}}$ oznaczmy jako ${\displaystyle P,Q,R}$ odpowiednio.
Dokonajmy inwersji w punkcie M i dowolnym promieniu. Niech odpowiednie obiekty po tym przekształceniu mają nazwy primowane.

Z własności inwersji wynika, że:

• proste zawierające ${\displaystyle MA,MB,MC}$ przejdą na proste
• ${\displaystyle \pi _{A}',\pi _{B}',\pi _{C}'}$ są prostymi prostopadłymi do, odpowiednio, ${\displaystyle MA',MB',MC'}$ w punktach ${\displaystyle A',B',C'}$
• ${\displaystyle \pi '}$ jest prostą zawierającą ${\displaystyle A',B',C'}$

Co więcej, punkty ${\displaystyle P,Q,R}$ są współiniowe wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle M,P',Q',R'}$ leżą na jednym okręgu.
Zauważmy teraz, że ${\displaystyle \angle P'A'M=90^{\circ }=\angle P'B'M,}$ zatem ${\displaystyle P',A',B',M}$ leżą na jednym okręgu. Analogicznie ${\displaystyle M,A',C',R'}$ oraz ${\displaystyle M,B',C',Q'}$ są współokręgowe.

Skoro trójki punktów ${\displaystyle A',B',C'}$ i ${\displaystyle P',B',Q'}$ są współliniowe, możemy zapisać, że:

${\displaystyle 180^{\circ }-\angle MP'R'=\angle MP'A'=\angle MB'A'=180^{\circ }-\angle MB'C'=\angle MQ'C'}$

Zatem na czworokącie ${\displaystyle MP'Q'R'}$ można opisać okrąg, skąd wynika, że punkty ${\displaystyle P,Q,R}$ leżą na prostej, c.n.d.

Przypisy

Bibliografia

• S.I. Zetel, Geometria trójkąta, Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, Warszawa 1964.