Krzywa stożkowa

Krzywa stożkowa – zbiór punktów przecięcia płaszczyzny i powierzchni stożkowej, której kierującą jest okrąg^[1]. Krzywe stożkowe są krzywymi drugiego stopnia, tzn. można je w kartezjańskim układzie współrzędnych opisać równaniem algebraicznym drugiego stopnia względem obu zmiennych ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y.}$

Stożkowe są niezmiennikami przekształcenia rzutowego i stąd grają pewną rolę w geometrii rzutowej. Typ stożkowej może się przy tym zmieniać, stożkowe można w tym sensie uznać za rzuty okręgu na płaszczyznę.

Rys historyczny

Za twórcę teorii krzywych stożkowych uważa się Menaichmosa, zaś znane pojęcia elipsa, parabola i hiperbola wprowadził Apoloniusz z Pergi. Krzywe stożkowe, których zastosowania nie widziano, stały się niezwykle ważne dopiero w XVII wieku w związku z odkryciami Jana Keplera, który udowodnił, iż planety krążą po torach eliptycznych, a Słońce znajduje się w jednym z ognisk (I prawo Keplera). Nowe ujęcie teorii krzywych stożkowych stworzył Jean-Victor Poncelet w XIX wieku.

Rodzaje krzywych stożkowych

Wyróżnia się następujące krzywe stożkowe, zależnie od kąta jaki tworzy płaszczyzna przecinająca z osią stożka i kąta tworzącej stożka:

• W przypadku, gdy kąt pomiędzy płaszczyzną przecinającą a osią stożka jest większy od kąta między tworzącą a osią stożka, wówczas krzywą stożkową jest elipsa.
  • Szczególnym przypadkiem elipsy jest okrąg, który powstaje, gdy wspomniany kąt jest prosty, czyli płaszczyzna tnąca jest prostopadła do osi stożka.
• Jeżeli kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest równy kątowi pomiędzy osią stożka a jego tworzącą, czyli tworząca jest równoległa do płaszczyzny tnącej, to krzywą stożkową jest parabola.
  • W szczególnym przypadku, gdy płaszczyzna tnąca pokrywa się z tworzącą, otrzymuje się prostą^[2] (parabola zdegenerowana).
• Jeżeli kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest mniejszy od kąta pomiędzy osią stożka a jego tworzącą, to otrzymana stożkowa jest hiperbolą.
  • Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca jest równoległa do osi stożka, ale nie obejmuje tej osi. W szczególnym przypadku, gdy oś stożka jest zawarta w płaszczyźnie tnącej, otrzymuje się parę przecinających się prostych^[2], będącą zdegenerowanym przypadkiem hiperboli.

Równanie

Wszystkie krzywe stożkowe można opisać równaniem we współrzędnych biegunowych:

${\displaystyle r={\frac {p}{1+e\cos \varphi }},}$

gdzie:

${\displaystyle r,\varphi }$ – współrzędne punktu;

${\displaystyle e}$ – mimośród krzywej, decydujący o jej kształcie:

• ${\displaystyle e=0}$ – okrąg, szczególny przypadek elipsy;
• ${\displaystyle 0\leqslant e<1}$ – elipsa;
• ${\displaystyle e=1}$ – parabola;
• ${\displaystyle e>1}$ – hiperbola.

${\displaystyle p}$ – parametr, decydujący o kącie pomiędzy tworzącą a osią stożka; parametr ${\displaystyle p}$ jest równy połowie długości cięciwy przechodzącej przez ognisko krzywej i równoległej do jej kierownicy. Nosi on łacińską nazwę semilatus rectum^[3].

Zobacz też

Zobacz hasło krzywa stożkowa w Wikisłowniku

• lista krzywych

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Conic Section, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].
• Conic sections (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].