Lemat o π- i λ-układach

Lemat o π- i λ-układach – lemat łączący koncepty π-układu i λ-układu, po raz pierwszy pojawił się w pracach Wacława Sierpińskiego^[1]. Dla potrzeb rachunku prawdopodobieństwa odkrył go ponownie Eugene Dynkin^[2].

Uwaga

Jeśli rodzina ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ podzbiorów zbioru ${\displaystyle \Omega }$ jest jednocześnie π-układem i λ-układem podzbiorów zbioru ${\displaystyle \Omega ,}$ to jest ona σ-ciałem podzbiorów zbioru ${\displaystyle \Omega .}$

Dowód

1. Pokażemy, że ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {A}}}$
   • Ponieważ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ jest λ-układem:
   • ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {A}}}$
   • oraz ${\displaystyle \Omega \subset \Omega \Rightarrow \Omega \setminus \Omega =\emptyset \in {\mathcal {A}}}$
2. Następnie wykażemy, że ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}\Rightarrow \Omega \setminus A\in {\mathcal {A}}}$
   • ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}},\Omega \in {\mathcal {A}}}$
   • więc z własności λ-układu:
   • ${\displaystyle A\subset \Omega \Rightarrow \Omega \setminus A\in {\mathcal {A}}}$
3. Pozostaje do pokazania: ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {A}}\Rightarrow \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {A}}}$
   • Ustalmy dowolnie ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {A}}}$
   • Wówczas także (λ-układ): ${\displaystyle \Omega \setminus A_{1},\Omega \setminus A_{2},\dots \in {\mathcal {A}}}$
   • Korzystając z własności π-układu mamy: ${\displaystyle \bigcap \limits _{i=1}^{n}(\Omega \setminus A_{i})\in {\mathcal {A}},n\in \mathbb {N} }$
   • Ale ${\displaystyle \bigcap \limits _{i=1}^{n}(\Omega \setminus A_{i})=\Omega \setminus \bigcup \limits _{i=1}^{n}A_{i}.}$ Wobec tego, również: ${\displaystyle \Omega \setminus \left(\Omega \setminus \bigcup \limits _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\bigcup \limits _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {A}}.}$
   • Zdefiniujmy wstępujący ciąg zbiorów, postaci: ${\displaystyle B_{1}=A_{1},B_{2}=A_{1}\cup A_{2},B_{3}=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3},\dots }$
   • Ciąg zbiorów ${\displaystyle (B_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest wstępującym ciągiem zbiorów należących do (λ-układu) ${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$ Wobec tego:

${\displaystyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}=\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }B_{i}\in {\mathcal {A}}}$

Lemat

Jeśli λ-układ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ podzbiorów zbioru ${\displaystyle \Omega }$ zawiera π-układ ${\displaystyle {\mathcal {H}},}$ to ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ zawiera ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {H}}),}$ czyli σ-ciało generowane przez ${\displaystyle {\mathcal {H}}.}$

Dowód

• Zdefiniujmy: ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}=\bigcap \{{\mathcal {C}}\subset 2^{\Omega }:{\mathcal {C}}}$ jest λ-układem oraz ${\displaystyle {\mathcal {H}}\subset {\mathcal {C}}\}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {H}}\subset {\mathcal {L}}_{0}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}}$ jest λ-układem
• Pokażemy, że ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}}$ jest także π-układem:
  • Niech ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}:=\{A\subset \Omega :\bigwedge \limits _{B\in {\mathcal {H}}}(A\cap B)\in {\mathcal {L}}_{0}\}}$
  • ${\displaystyle {\mathcal {H}}\subset {\mathcal {L}}_{1}}$
  • ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}}$ jest λ-układem
  • Ponieważ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}}$ jest najmniejszym λ-układem zawierającym ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ mamy: ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}\subset {\mathcal {L}}_{1}}$
  • tzn. ${\displaystyle \bigwedge \limits _{A\in {\mathcal {L}}_{0}}\bigwedge \limits _{B\in {\mathcal {H}}}(A\cap B\in {\mathcal {L}}_{0})\quad (*)}$
  • Niech ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}:=\{B\subset \Omega :\bigwedge \limits _{A\in {\mathcal {L}}_{0}}(A\cap B\in {\mathcal {L}}_{0})\}}$
  • korzystając z ${\displaystyle (*)}$ otrzymujemy ${\displaystyle {\mathcal {H}}\subset {\mathcal {L}}_{2}}$
  • ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}}$ jest λ-układem
  • ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}\subset {\mathcal {L}}_{2}}$
  • tzn. ${\displaystyle \bigwedge \limits _{A\in {\mathcal {L}}_{0}}\bigwedge \limits _{B\in {\mathcal {L}}_{0}}(A\cap B\in {\mathcal {L}}_{0})}$
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}}$ jest więc π-układem
• Korzystając z uwagi wnioskujemy, że ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}}$ jest σ-ciałem podzbiorów zbioru ${\displaystyle \Omega }$ zawierającym π-układ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$
• Wobec tego ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {H}})\subset {\mathcal {L}}_{0}\subset {\mathcal {L}}\quad \Box }$

Zobacz też

• klasa monotoniczna

Przypisy

Bibliografia

• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Wyd. II. Warszawa: Script, 2001. ISBN 83-904564-5-1. Brak numerów stron w książce