Ciało zbiorów

Nie mylić z: algebra nad ciałem.

Ciało zbiorów, algebra zbiorów – rodzina ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ podzbiorów pewnego niepustego zbioru ${\displaystyle X}$ spełniająca warunki:

1. zbiór pusty należy do ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$
2. dopełnienie zbioru należącego do ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ należy do ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$
3. suma dwóch zbiorów należących do ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ należy do ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

Czasami, by podkreślić, że ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ jest rodziną podzbiorów konkretnego zbioru ${\displaystyle X,}$ pisze się ciało zbiorów na ${\displaystyle X.}$

Ciała zbiorów bada się w teorii mnogości i teorii algebr Boole’a, w mniejszym stopniu w teorii miary, probabilistyce, topologii i kombinatoryce.

Podstawowe przykłady

Niech ${\displaystyle X}$ będzie niepustym zbiorem.

Następujące rodziny podzbiorów ${\displaystyle X}$ są ciałami na ${\displaystyle X{:}}$

• rodzina wszystkich podzbiorów zbioru ${\displaystyle X}$ (zbiór potęgowy),
• rodzina złożona ze zbioru pustego i zbioru ${\displaystyle X,}$
• rodzina ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{A}=\{A,X\setminus A,\varnothing ,X\},}$ gdzie ${\displaystyle A}$ jest dowolnym podzbiorem ${\displaystyle X,}$
• rodzina złożona z tych podzbiorów zbioru liczb naturalnych, które są skończone lub ich dopełnienie jest skończone (jest ciałem),
• każde σ-ciało podzbiorów ${\displaystyle X}$ – na przykład rodzina borelowskich podzbiorów danej przestrzeni topologicznej jest ciałem, które jest również σ-ciałem.

Jeśli ${\displaystyle (X,\tau )}$ jest przestrzenią topologiczną, to rodzina otwarto-domkniętych podzbiorów ${\displaystyle X}$ tworzy ciało. (Ciała tego typu są rozważane głównie dla przestrzeni zerowymiarowych).

Niech ${\displaystyle (X,\leqslant ^{*})}$ będzie porządkiem liniowym w którym istnieje element najmniejszy. Dla ${\displaystyle x,y\in X\cup \{\infty \},\,x<^{*}y}$ niech ${\displaystyle [x,y):=\{z\in X\colon x\leqslant ^{*}z<^{*}y\}.}$ (Element ${\displaystyle \infty }$ jest traktowany jako element większy niż wszystkie punkty z ${\displaystyle X.}$) Niech ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ będzie rodziną złożoną ze zbioru pustego oraz tych podzbiorów ${\displaystyle X}$ które mogą być przedstawione jako ${\displaystyle [x_{0},y_{0})\cup \ldots \cup [x_{k},y_{k})}$ dla pewnych elementów ${\displaystyle x_{0},y_{0},\dots ,x_{k},y_{k}\in X\cup \{\infty \}}$ spełniających nierówności ${\displaystyle x_{0}<^{*}y_{0}<^{*}x_{1}<^{*}y_{1}<^{*}\ldots <^{*}x_{k}<^{*}y_{k},}$ ${\displaystyle k\in {\mathbb {N} }.}$ Wówczas ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ jest ciałem podzbiorów ${\displaystyle X;}$ jest to ciało generowane przez przedziały ${\displaystyle [x,y)}$ dla ${\displaystyle x,y\in X\cup \{\infty \}.}$

Podstawowe własności

• Każde ciało na ${\displaystyle X}$ jest zamknięte na dowolne skończone przekroje i sumy.
• Przekrój dowolnej rodziny ciał na ${\displaystyle X}$ jest ciałem zbiorów.
• Dla dowolnej rodziny ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ podzbiorów zbioru ${\displaystyle X}$ istnieje najmniejsze ciało zbiorów zawierające wszystkie zbiory tej rodziny. Nazywamy je ciałem generowanym przez tę rodzinę.
• Przypuśćmy, że ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ jest ciałem podzbiorów ${\displaystyle X,}$ a ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ jest ideałem podzbiorów ${\displaystyle X.}$ Wówczas ciało generowane przez ${\displaystyle {\mathcal {F}}\cup {\mathcal {I}}}$ to rodzina ${\displaystyle {\big \{}A{\dot {-}}B:A\in {\mathcal {F}}\ \wedge \ B\in {\mathcal {I}}{\big \}},}$ gdzie ${\displaystyle {\dot {-}}}$ oznacza operację różnicy symetrycznej.
• Pierścień zbiorów ${\displaystyle R}$ na ${\displaystyle X}$ jest ciałem zbiorów, jeśli należy do niego zbiór ${\displaystyle X.}$

Ciała jako algebry Boole’a

• Jeśli ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ jest ciałem zbiorów na ${\displaystyle X,}$ to ${\displaystyle ({\mathcal {F}},\cup ,\cap ,{}',\varnothing ,X)}$ jest algebrą Boole’a.
• Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a mówi, że każda algebra Boole’a jest izomorficzna z pewnym ciałem zbiorów (traktowanym jako algebra Boole’a). Dokładniej mówiąc, algebra Boole’a ${\displaystyle \mathbb {B} }$ jest izomorficzna z ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów przestrzeni ultrafiltrów na ${\displaystyle \mathbb {B} }$ (tzw. przestrzeni Stone’a algebry ${\displaystyle \mathbb {B} }$). Twierdzenie Stone’a nie może być dowiedzione wyłącznie na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla – wymaga ono założenia pewnej formy aksjomatu wyboru (rozszerzalności ideałów w algebrach Boole’a do ideałów pierwszych).

Bibliografia

• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2007. ISBN 978-83-01-15232-1. Brak numerów stron w książce
• Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973. Brak numerów stron w książce