Integral Fresnel

• Teorema dasar

Integral Fresnel pada nilai S(x) dan C(x) adalah dua fungsi transendental yang ditemukan oleh Augustin-Jean Fresnel yang digunakan dalam optik dan terkait erat dengan fungsi kesalahan (erf). Ketika muncul dalam deskripsi fenomena difraksi Fresnel pada medan terdekat dan dapat didefinisikan melalui representasi integral, sebagai berikut:

${\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt,\quad C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt.}$

Dari rumus di atas plot parametrik simulasi dari nilai S(x) dan nilai C(x) adalah hasil nilai spiral Euler atau juga dikenal sebagai spiral Cornu atau clothoid. Baru-baru ini, mereka telah digunakan dalam desain jalan raya dan proyek teknik lainnya.^[1]

Definisi

Integral Fresnel menerima ekspansi deret pangkat berikut yang menyatu untuk semua yaitu nilai x:

${\displaystyle {\begin{aligned}S(x)&=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}}.\\C(x)&=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}.\end{aligned}}}$

Beberapa tabel yang banyak digunakan adalah^[2][3] nila ${\displaystyle \pi t^{2}/2}$ saat digantikan oleh nilai ${\displaystyle t^{2}}$ untuk argumen integral yang merumuskan nilai S(x) dan C(x). Hal tersebut dapat mengubah limit tak hingga dari nilai ${\displaystyle \textstyle (1/2)\cdot {\sqrt {\pi /2}}}$ untuk nilai ${\displaystyle 1/2}$ dan panjang busur yang digunakan untuk putaran spiral pertama ${\displaystyle (2\pi )}$ to 2 (at ${\displaystyle t=2}$). Fungsi alternatif saat ini biasanya dikenal sebagai Integral Fresnel yang Dinormalisasi.

Spiral Euler

Spiral Euler, atau dikenal juga sebagai Cornu spiral atau clothoid, adalah kurva yang dihasilkan oleh plot parametrik dari ${\displaystyle S(t)}$ melawan ${\displaystyle C(t)}$. Spiral Cornu diciptakan oleh Marie Alfred Cornu sebagai nomogram untuk komputasi difraksi dalam sains dan teknik.

Dari definisi integral Fresnel, infinitesimal ${\displaystyle dx}$ dan ${\displaystyle dy}$ demikian:

${\displaystyle {\begin{aligned}dx&=C'(t)\,dt=\cos(t^{2})\,dt,\\dy&=S'(t)\,dt=\sin(t^{2})\,dt.\end{aligned}}}$

Dengan demikian panjang spiral yang diukur dari asal dapat dinyatakan sebagai

${\displaystyle L=\int _{0}^{t_{0}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int _{0}^{t_{0}}dt=t_{0}.}$

Artinya, parameter ${\displaystyle t}$ adalah panjang kurva yang diukur dari titik asal ${\displaystyle (0,0)}$, dan spiral Euler memiliki panjang tak terbatas. The vector ${\displaystyle (\cos(t^{2}),\sin(t^{2}))}$ juga mengekspresikan satuan vektor tangen di sepanjang spiral, memberi ${\displaystyle \theta =t^{2}}$. Karena t adalah panjang kurva, maka kelengkungan tersebut ${\displaystyle \kappa }$ dapat dinyatakan sebagai

${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}}={\frac {d\theta }{dt}}=2t.}$

Dengan demikian laju perubahan kelengkungan terhadap panjang kurva adalah

${\displaystyle {\frac {d\kappa }{dt}}={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=2.}$

Spiral Euler memiliki sifat bahwa kelengkungan pada titik mana pun sebanding dengan jarak sepanjang spiral, diukur dari titik awalnya. Properti ini membuatnya berguna sebagai kurva transisi dalam teknik jalan raya dan perkeretaapian: Jika kendaraan mengikuti spiral dengan kecepatan satuan, parameter ${\displaystyle t}$ di turunan di atas juga mewakili waktu. Akibatnya, kendaraan yang mengikuti spiral dengan kecepatan konstan akan memiliki laju konstan percepatan sudut.

Bagian dari spiral Euler biasanya digabungkan ke dalam bentuk loop roller coaster untuk membuat apa yang dikenal sebagai lingkaran clothoid.

Properti

• C(x) dan S(x) adalah fungsi ganjil dari x.
• Asimtot integral Fresnel sebagai ${\displaystyle x\to \infty }$ diberikan oleh rumus:

${\displaystyle {\begin{aligned}S(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {{\mbox{sign}}{(x)}}{2}}-\left[1+O(x^{-4})\right]\left({\frac {\cos {(x^{2})}}{x{\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\sin {(x^{2})}}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\right)\right),\\C(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {{\mbox{sign}}{(x)}}{2}}+\left[1+O(x^{-4})\right]\left({\frac {\sin {(x^{2})}}{x{\sqrt {2\pi }}}}-{\frac {\cos {(x^{2})}}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\right)\right).\end{aligned}}}$

• Dengan menggunakan ekspansi deret pangkat di atas, integral Fresnel dapat diperpanjang ke domain bilangan kompleks s, di mana mereka menjadi fungsi analitik dari variabel kompleks.
• C(z) dan S(z) adalah seluruh fungsi dari variabel kompleks z.
• Integral Fresnel dapat diekspresikan menggunakan fungsi kesalahan sebagai berikut:^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}S(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1+i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)-i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right],\\C(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1-i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)+i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right].\end{aligned}}}$

atau

${\displaystyle {\begin{aligned}C(z)+iS(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right),\\S(z)+iC(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right).\end{aligned}}}$

Generalisasi

Integral

${\displaystyle \int x^{m}\exp(ix^{n})\,dx=\int \sum _{l=0}^{\infty }{\frac {i^{l}x^{m+nl}}{l!}}\,dx=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {i^{l}}{(m+nl+1)}}{\frac {x^{m+nl+1}}{l!}}}$

Integral adalah fungsi hipergeometrik konfluen dan juga fungsi gamma tidak lengkap^[5].

${\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{m}\exp(ix^{n})\,dx&={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}{\frac {m+1}{n}}\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid ix^{n}\right)\\&={\frac {1}{n}}i^{(m+1)/n}\gamma \left({\frac {m+1}{n}},-ix^{n}\right),\end{aligned}}}$

Integral direduksi menjadi integral Fresnel jika bagian nyata atau imajiner diambil:

${\displaystyle \int x^{m}\sin(x^{n})\,dx={\frac {x^{m+n+1}}{m+n+1}}\,_{1}F_{2}\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{2}}+{\frac {m+1}{2n}}\\{\frac {3}{2}}+{\frac {m+1}{2n}},{\frac {3}{2}}\end{array}}\mid -{\frac {x^{2n}}{4}}\right)}$.

Istilah utama dalam ekspansi asimtotik adalah:

${\displaystyle _{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}{\frac {m+1}{n}}\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid ix^{n}\right)\sim {\frac {m+1}{n}}\,\Gamma \left({\frac {m+1}{n}}\right)e^{i\pi (m+1)/(2n)}x^{-m-1},}$

Oleh karena itu, dapat diberikan kesimpulan bahwa:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{m}\exp(ix^{n})\,dx={\frac {1}{n}}\,\Gamma \left({\frac {m+1}{n}}\right)e^{i\pi (m+1)/(2n)}.}$

Untuk m = 0, bagian imajiner dari persamaan ini secara khusus adalah:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sin(x^{a})\,dx=\Gamma \left(1+{\frac {1}{a}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{2a}}\right),}$

Dengan sisi kiri menyatu untuk a> 1 dan sisi kanan menjadi ekstensi analitiknya ke seluruh bidang kurang di mana letak kutub ${\displaystyle \Gamma (a^{-1})}$.

Transformasi Kummer dari fungsi hipergeometrik konfluen adalah

${\displaystyle \int x^{m}\exp(ix^{n})\,dx=V_{n,m}(x)e^{ix^{n}},}$

Dengan

${\displaystyle V_{n,m}:={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}1\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid -ix^{n}\right).}$

Penggunaan Integral Fresnel

Penggunaan Integral Fresnel pada awalnya digunakan dalam perhitungan intensitas medan elektromagnetik di lingkungan di mana cahaya membelok di sekitar objek buram.^[6][7]

Baru-baru ini, mereka telah menggunakan perhitungan ini sebagai desain jalan raya dan rel kereta api, khususnya zona transisi kelengkungannya, lihat kurva transisi lintasan.^[8] developed a set of efficient approximations based on rational functions that give relative errors down to 2×10⁻¹⁹. atau menghitung transisi pada trek velodrome untuk memungkinkan masuknya cepat ke tikungan dan keluar secara bertahap.^[9] 1,6×10⁻⁹.^[10]

Lihat pula

• Integral Böhmer
• Zona Fresnel
• Lacak kurva transisi
• Spiral euler
• Pelat zona
• Integral Dirichlet
• Fungsi Kerucut dan Parabola
• Fungsi Bessel
• Rumus Vieta

Referensi