Affin geometria

A matematika, azon belül a geometria területén használatos az affin geometria fogalma. Két ekvivalens módon is bevezethető.^[1]

Szemléletesen fogalmazva az affin geometria az euklideszi geometriából adódik a metrikus fogalmak, azaz a távolságok és szögek elhagyásával. Mivel a párhuzamosság az egyik legalapvetőbb metrikafüggetlen fogalom, az affin geometriát gyakran a párhuzamosok vizsgálatával azonosítják. Az affin geometriában alapvető a Playfair-axióma, vagyis az az állítás, hogy egy adott e egyeneshez és P ponthoz pontosan egy olyan egyenes létezik, amely párhuzamos e-vel és áthalad P-n. Az alakzatok összehasonlítása az affin geometriában az affin transzformációk segítségével történik.

Másfelől a lineáris algebrára alapozva is bevezethető az affin geometria. Ebben az esetben az affin tér egy ponthalmaz és egy transzformációhalmaz alkotta rendezett pár. A transzformációk bijektív leképezések oly módon, hogy minden (P, Q) pontpárra létezik egyértelműen egy transzformáció, amely a P pontot a Q pontra képezi le. A transzformációk a függvénykompozíció műveletével vektorteret alkotnak valamely test, jellemzően a valós számtest felett.

Axiomatikus definíció

Affin geometriának nevezzük az olyan ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ és ${\displaystyle {\mathfrak {E}}}$ (pont- illetve egyeneshalmazokból) képzett ${\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathfrak {E}})}$ rendezett párokat, amelyekre adott egy ${\displaystyle I\subset {\mathfrak {P}}\times {\mathfrak {E}}}$ (metszési) reláció, valamint egy ${\displaystyle \|\subset {\mathfrak {E}}\times {\mathfrak {E}}}$ (párhuzamossági) reláció a következő tulajdonságokkal: ^[2]

1. Két különböző ${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle B}$ pontra pontosan egy olyan ${\displaystyle e}$ egyenes létezik, amely mindkét pontot metszi, azaz ${\displaystyle AIe}$ és ${\displaystyle BIe}$ egyaránt fennáll. Ezt az egyenest az egyszerűség kedvéért szokás ${\displaystyle AB}$ egyenesként is emlegetni.
2. Minden egyenes legalább két pontot metsz.
3. A párhuzamossági reláció ekvivalenciareláció.
4. Egy adott ${\displaystyle A}$ ponthoz és adott ${\displaystyle e}$ egyeneshez pontosan egy olyan ${\displaystyle e'}$ egyenes létezik, amely metszi az ${\displaystyle A}$ pontot és párhuzamos az ${\displaystyle e}$ egyenessel.
5. Ha adott egy ${\displaystyle ABC}$ háromszög (három nem egy egyenesen fekvő pont), valamint két ${\displaystyle A'}$ és ${\displaystyle B'}$ úgy, hogy az ${\displaystyle AB}$ egyenes párhuzamos az ${\displaystyle A'B'}$ egyenessel, akkor létezik egy olyan ${\displaystyle C'}$ pont, amelyre az ${\displaystyle AC}$ egyenes párhuzamos az ${\displaystyle A'C'}$ egyenessel és a ${\displaystyle BC}$ egyenes párhuzamos a ${\displaystyle B'C'}$ egyenessel.

Lásd még

• Affin koordináták
• Affin kombináció
• Affin transzformáció
• Nemeuklideszi geometria

Jegyzetek

Ez a geometriai témájú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!