Affin transzformáció

Az affin transzformáció az affin geometriában használt, illetve a lineáris algebra részeként is tárgyalható fogalom. Egy affin transzformáció során a transzformált koordináták az eredeti koordináták lineáris függvényeként állnak elő. Ide tartoznak a lineáris transzformációk.

Lényege, hogy egy affin terek közötti transzformáció affin, ha megőrzi a kollinearitást, a párhuzamosságot és az osztóviszonyt. Pontosabban:

• A kollinearitást megőrzi, ha valahányszor egy egyenesre esik három pont, akkor a képpontok is egy egyenesre esnek. Ez nem zárja ki, hogy a képük ugyanaz a pont legyen.
• A párhuzamosságot megőrzi, ha valahányszor két egyenes párhuzamos, akkor a képegyenesek is párhuzamosok.
• Az osztóviszony megőrzése azt jelenti, hogy valahányszor három pont egy egyenesre esik, a képpontok közötti távolságot a középső pont ugyanabban az arányban osztja fel, mint az eredeti pontok közül a középső pont.

Speciális affin transzformációk:

• Egy affin tér önmagára vett bijektív affin transzformációját affinitásnak nevezik.
• A fixpontos affin transzformációkat lineáris leképezéseknek nevezik például az iskolai matematikában vagy speciális alkalmazásterületeken, például a statisztikában.

Definíció

Ha ${\displaystyle (A,V_{A})}$ és ${\displaystyle (B,V_{B})}$ affin terek, akkor egy ${\displaystyle f\colon A\to B}$ leképezés affin, ha van egy ${\displaystyle \varphi \colon V_{A}\to V_{B}}$ lineáris leképezés a hozzájuk tartozó vektorterek között úgy, hogy

${\displaystyle {\overrightarrow {f(P)f(Q)}}=\varphi \left({\overrightarrow {PQ}}\right)}$

minden ${\displaystyle P,Q\in A}$ pontra. Itt az ${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}\in V_{A}}$ és ${\displaystyle {\overrightarrow {f(P)f(Q)}}\in V_{B}}$ vektorok az eredeti pontok és a képpontok összekötő vektorai.

Hogyha ${\displaystyle A=V_{A}}$ és ${\displaystyle B=V_{B}}$, akkor az ${\displaystyle f\colon A\to B}$ leképezés affin, ha van egy ${\displaystyle \varphi \colon V_{A}\to V_{B}}$ lineáris leképezés úgy, hogy

${\displaystyle f(P)=f(0)+\varphi (P)}$

minden ${\displaystyle P\in A}$. Ekkor az affin leképezés megkapható egy lineáris leképezésből az ${\displaystyle f(0)}$ vektorral való eltolással.

Tulajdonságok

• A definícióban szereplő ${\displaystyle \varphi }$ leképezést ${\displaystyle f}$ egyértelműen meghatározza. A következőkben ${\displaystyle \varphi _{f}}$ jelöli.
• Egy ${\displaystyle f\colon A\to B}$ leképezés akkor és csak akkor affin, ha van egy ${\displaystyle P_{0}\in A}$ úgy, hogy

${\displaystyle \varphi _{f}\colon V_{A}\to V_{B},\quad {\overrightarrow {P_{0}Q}}\mapsto {\overrightarrow {f(P_{0})f(Q)}}}$

lineáris.

• Ha adva van ${\displaystyle P_{0}\in A}$ és ${\displaystyle Q_{0}\in B}$, illetve egy ${\displaystyle \psi \colon V_{A}\to V_{B}}$ lineáris leképezés, akkor pontosan egy ${\displaystyle f\colon A\to B}$ affin leképezés létezik úgy, hogy ${\displaystyle f(P_{0})=Q_{0}}$ és ${\displaystyle \varphi _{f}=\psi }$.
• Egy ${\displaystyle f}$ affin leképezés pontosan akkor bijektív, ha ${\displaystyle \varphi _{f}}$ is bijektív. Ekkor az ${\displaystyle f^{-1}\colon B\to A}$ inverz leképezés szintén affin és ${\displaystyle \varphi _{f^{-1}}=(\varphi _{f})^{-1}}$.
• Ha ${\displaystyle (C,V_{C})}$ szintén affin tér úgy, hogy ${\displaystyle f\colon A\to B}$, ${\displaystyle g\colon B\to C}$ is affin, akkor ${\displaystyle g\circ f\colon A\to C}$ is affin, és ${\displaystyle \varphi _{g\circ f}=\varphi _{g}\circ \varphi _{f}}$.

Ábrázolások koordinátákkal

Affin koordináta-rendszerben

Descartes-koordináta-rendszert vagy általánosabban, affin koordináta-rendszert feltételező esetben az affin transzformációk előállnak egy lineáris transzformáció és egy eltolás szorzataként. Egy lineáris transzformáció ábrázolható mátrixszal, és egy eltolás vektorral, azért az affin transzformáció általános alakját a következőképpen írhatjuk fel:

${\displaystyle {\overset {\text{Transzformált koordináták}}{\begin{bmatrix}\color {Blue}X^{'},&\color {Blue}Y^{'},&\color {Blue}Z^{'}\\\end{bmatrix}}}={\overset {\text{ Eredeti koordináták}}{\begin{bmatrix}\color {Red}X,&\color {Red}Y,&\color {Red}Z\\\end{bmatrix}}}\cdot {\overset {3\times 3{\text{ mátrix}}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\\\end{bmatrix}}}+{\overset {P{\text{ Vektor}}}{\begin{bmatrix}P_{x},&P_{y},&P_{z}\\\end{bmatrix}}}}$

Ahol a 3x3 -as A mátrix valamilyen lineáris transzformáció mátrixa ami lehet skálázás, forgatás, tükrözés, vetítés, nyírás vagy ezek tetszőleges konkatenáltja. A P vektor pedig valamilyen eltolás vektoraként értelmezhető.

Röviden:

${\displaystyle f({\vec {x}})=A\cdot {\vec {x}}+{\vec {p}}}$

Ezzel az írásmóddal ${\displaystyle {\vec {x}}}$ és ${\displaystyle f({\vec {x}})}$ oszlopvektorok, és egy pont ősképét, illetve képét ábrázolják. Az ${\displaystyle A}$ mátrix sorainak száma megegyezik annak a térnek a dimenziójával, amibe a transzformáció képez(${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}$); az oszlopok száma egyenlő annak a térnek a dimenziójával, amiből a transzformáció képez (${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}$).

Az affin leképezés ${\displaystyle f({\mathcal {A}}_{1})}$ képterének dimenziója megegyezik a mátrix rangjával.

Ha egy affin teret önmagára képezünk, akkor csak egy koordináta-rendszert kell választani; mind ${\displaystyle {\vec {x}}}$, mind ${\displaystyle f({\vec {x}})}$ koordinátáit ebben a rendszerben írjuk fel. Mivel az ős- és a képtér megegyezik, dimenziójuk ugyanakkora, így az ${\displaystyle A}$ mátrix oszlopainak és sorainak száma megegyezik, tehát az ${\displaystyle A}$ mátrix négyzetes. Ebben az összefüggésben azonosítják az eltolások terét is az affin térrel. Így az affin önleképezések azonosíthatók a lineáris leképezések és az eltolások kombinációjával.

Egy affin önleképezés pontosan akkor affinitás, ha a leképezésmátrix determinánsa nem nulla.

Homogén koordinátákkal

Homogén koordináták használata esetén egyetlen mátrixszorzással felírható:

${\displaystyle {\overset {\text{Transzformált koordináták}}{\begin{bmatrix}\color {Blue}X^{'},&\color {Blue}Y^{'},&\color {Blue}Z^{'},&\color {Blue}1\\\end{bmatrix}}}={\overset {\text{Eredeti koordináták}}{\begin{bmatrix}\color {Red}X,&\color {Red}Y,&\color {Red}Z,&\color {Red}1\\\end{bmatrix}}}\cdot {\overset {4\times 4{\text{ mátrix}}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}&0\\A_{21}&A_{22}&A_{23}&0\\A_{31}&A_{32}&A_{33}&0\\P_{x},&P_{y},&P_{z}&1\\\end{bmatrix}}}}$

A leképezés egyenlete homogén koordinátavektorokkal:

${\displaystyle f_{h}({\vec {x_{h}}})=A_{\mathrm {erw} }(A,{\vec {p}})\cdot {\vec {x_{h}}}}$.

Ez az ábrázolás értelmezhető az affin tér megfelelő dimenziójú projektív térbe ágyazásaként. Ekkor a homogén koordináták értelmezhetők projektív koordinátákként.

Osztályozás

Az affinitásokat fixpontjaik szerint osztályozzák. Egy pont fixpont, ha a transzformáció önmagára képezi le. Ha ${\displaystyle {\vec {x}}_{p}}$ fixpont, akkor koordinátái meghatározhatók az ${\displaystyle {\vec {x}}_{p}-A\cdot {\vec {x}}_{p}={\vec {t}}}$ egyenlet alapján. Figyelembe kell venni, hogy ${\displaystyle {\vec {t}}\neq 0}$ fixpont is létezhet, lásd például a síkban a tengelyes tükrözést.

Az osztályozás a síkbeli (kétdimenziós) affin térben:

1. Identitás, minden pont fix
2. Tengelyes affinitás: egy affinitás, melynek fixpontjai egyenest alkotnak, ez az affinitás tengelye. Ide tartoznak a ferdén tükrözések, a nyírások és a párhuzamos nyújtások.
3. Középpontos affinitás: egyetlen fixpont van, az affinitás középpontja. Ide tartoznak a forgatva nyújtás, köztük a középpontos tükrözések, forgatások és középpontos hasonlóságok; a nyírva nyújtás és az Euler-affinitás.
4. Fixpont nélküli affinitások: ide tartoznak a valódi eltolások, vagy pedig egy tengelyes vagy középpontos affinitás kombinációja valódi eltolással.

A síkbeli affinitások normálformája

Alkalmas affin pontbázisválasztással minden síkaffinitás normálformára hozható. Ehhez az origót egy fixpontban jelölik ki. Amennyiben vannak fixegyenesek, úgy a koordinátatengelyeket ezek irányában jelölik ki. Persze ezek a módszerek az identitás esetén nem működnek, de ahhoz önkényesen választunk origót és tengelyeket, és amúgy is az identitásmátrixot kapjuk. Az alábbi normálformák a valós affin sík normálformáit tartalmazzák. Amennyiben nincs fixpont, úgy a leíráshoz egy ${\displaystyle {\vec {t}}\neq 0}$ vektorra is szükség van.

• Tengelyes affinitások:

• Nyírás

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

• Ferdén tükrözés

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

• Párhuzamos nyújtás

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\0&a\end{pmatrix}};\quad a>0}$

• Középpontos affinitások: a fixpontot origónak választva, a tengelyeket az A mátrix sajátvektorainak irányába felvéve

• Forgatva nyújtás

${\displaystyle A=r\cdot {\begin{pmatrix}\cos(\varphi )&-\sin(\varphi )\\\sin(\varphi )&\cos(\varphi )\end{pmatrix}},\quad }$, ahol ${\displaystyle |r|}$ a nyújtás tényezője, és ${\displaystyle \varphi }$ a forgatás szöge

• Nyírva nyújtás

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&1\\0&a\end{pmatrix}};\quad a\in \mathbb {R} \setminus \lbrace 0;1\rbrace }$

• Euler-affinitás

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}};\quad a\neq b;\quad a,b\in \mathbb {R} \setminus \lbrace 0;1\rbrace .}$

Ha ${\displaystyle K}$ a valós számok euklideszi részteste, akkor a ${\displaystyle K^{2}}$ affin sík affin transzformációi is ugyanígy csoportosíthatók; ekkor azonban a mátrixkoordinátáknak is ebből a testből kell kikerülniük, azaz ${\displaystyle a,b,r,\cos(\varphi ),\sin(\varphi )\in K}$. Forgatva nyújtások esetén azonban a ${\displaystyle \varphi \in \mathbb {R} }$ szögmértéknek nem kell testelemnek lennie.

Speciális affin transzformációk

• Egy tér önmagára vett affin transzformációja affin önleképezés. Ha egy önleképezés bijektív, akkor affinitás.
• Ha egy affinitásban minden egyenes párhuzamos a képével, akkor az dilatáció vagy homotécia. Az eltolások speciális homotéciák.
• Ha egy affin önleképezés megőrzi a pontok euklideszi távolságát, akkor az egybevágóság. Ezek a leképezések szükségszerűen bijektívek, tehát affinitások.
• Fontos nem bijektív önleképezések a merőleges vetítések. Jellegzetességük, hogy a teret egy alterére képezik le, és az adott altérre leszűkítve az altér identitását kapjuk.
• Egydimenziós affin tér önleképezéseit affin függvényeknek is nevezik.

Alkalmazások

Grafikus alkalmazások

Affin leképezéseket alkalmaznak a térképészetben és a képfeldolgozásban.

• A robotikában és a komputergrafikában a forgatás, tükrözés, skálázás, nyírás és eltolás a gyakrabban alkalmazott transzformációk. Mindezek a leképezések bijektívek.
• Ha háromdimenziós testeket akarunk két dimenzióban ábrázolni, akkor nem bijektív leképezéseket használnak:

• párhuzamos vetítés annak speciális eseteivel
• középpontos vetítés, ami nem affin, hanem projektív transzformáció
• további transzformációk, amelyek még csak nem is projektív transzformációk, lásd a Mercator-vetítés

• A vektorgrafikák standardizált leírásában szintén affin transzformációkat használnak (például SVG formátum)

Statisztikai alkalmazások

A statisztikában lineáris transzformációkkal lehet a legtöbbször találkozni.

Eloszlások jellemzése

Legyen ${\displaystyle X}$ véletlen valószínűségi változó, az ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$ várható értékkel és ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)}$ szórásnégyzettel! Képezzük az ${\displaystyle Y}$ véletlen valószínűségi változót úgy, hogy az ${\displaystyle X}$ véletlen valószínűségi változó lineáris transzformáltja legyen, azaz

${\displaystyle Y=a+bX,}$

ahol ${\displaystyle a}$ és ${\displaystyle b}$ valós számok.

Ekkor az ${\displaystyle Y}$ véletlen valószínűségi változó várható értéke

${\displaystyle \operatorname {E} (Y)=a+b\operatorname {E} (X),}$

szórásnégyzete

${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=b^{2}\operatorname {Var} (X).}$

Speciálisan, ha ${\displaystyle X}$ normális eloszlású, akkor ${\displaystyle Y}$ is normális eloszlású, a fenti paraméterekkel.

Például: Legyen ${\displaystyle X}$ pozitív szórásnégyzetű véletlen valószínűségi változó! Ekkor hasznos az

${\displaystyle Y={\frac {X-\operatorname {E} (X)}{\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}},}$

lineáris transzformáció, mivel ekkor ${\displaystyle Y}$ az ${\displaystyle \operatorname {E} (Y)=0}$ és ${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=1}$ értékekkel standardizált véletlen valószínűségi változó.

Legyen ${\displaystyle {\underline {X}}=(X_{1},\dots ,X_{p})^{T}}$ valószínűségi vektorváltozó, legyen ${\displaystyle {\underline {\mu }}_{X}}$ a várható értékek vektora, és ${\displaystyle {\underline {\Sigma }}_{X}}$ az ${\displaystyle {\underline {X}}}$ valószínűségi vektorváltozó kovarianciamátrixa! Ekkor, ha az ${\displaystyle {\underline {Y}}}$ valószínűségi vektorváltozó az ${\displaystyle {\underline {X}}}$ valószínűségi vektorváltozó lineáris transzformáltja, azaz

${\displaystyle {\underline {Y}}={\underline {a}}+{\underline {B}}\,{\underline {X}},}$

ahol ${\displaystyle {\underline {a}}}$ egy ${\displaystyle q}$ dimenziós oszlopvektor és ${\displaystyle {\underline {B}}}$ egy ${\displaystyle q\times p}$ méretű mátrix; ekkor ${\displaystyle {\underline {Y}}}$ várható értéke

${\displaystyle {\underline {\mu }}_{Y}={\underline {a}}+{\underline {B}}\,{\underline {\mu }}_{X}}$

és kovarianciamátrixa

${\displaystyle {\underline {\Sigma }}_{Y}={\underline {B}}\,{\underline {\Sigma }}_{X}\,{\underline {B}}^{T}}$.

Speciálisan, ha ${\displaystyle {\underline {X}}}$ ${\displaystyle p}$-dimenziós normális eloszlású, akkor ${\displaystyle {\underline {Y}}}$ ${\displaystyle q}$ dimenziós normális eloszlású, a fent kiszámított paraméterekkel.

Példák

Az affin transzformációk pontot pontba, egyenest egyenesbe, párhuzamos egyeneseket párhuzamos egyenesekbe, síkokat síkokba visznek.

A képfeldolgozási alkalmazásokban affin transzformációkat használnak arra, hogy a kamerapozícióból adódó torzításokat kiküszöböljék. Például a műholdak által alkotott képek nagylátószögű objektívekkel készítik, és panorámaképeket alkotnak, képkombinációkat készítenek. A képek transzformációja és egyesítése érdekében kívánatos egy nagy, lapos koordináta-rendszer, a torzítások elkerülése érdekében. Így egyszerűsíthetők a számítások és az interakciók, melyeknek nem kell figyelembe venniük a különböző torzításokat.

Az alábbi táblázat egy sakktáblamintával mutat be különböző affin transzformációkat: identitást, eltolást, tükrözést, skálázást, forgatást és nyírást. A sakktábla bal oldala sötétebb, a tükrözés szemléltetésére:^[1]

Affin transzformáció	Mátrix	Példa
Identitás	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$
Eltolás	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&v_{x}>0\\0&1&v_{y}=0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$
Tükrözés	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$
Skálázás	${\displaystyle {\begin{bmatrix}c_{x}=2&0&0\\0&c_{y}=1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$
Forgatás	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )&0\\\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$
Nyírás	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&c_{x}=0.5&0\\c_{y}=0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

Kapcsolódó szócikkek

• Affin geometria
• Affin kombináció
• Affin koordináták
• Tengelyes affinitás

Jegyzetek

Források

• Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 6. Auflage. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1992, ISBN 3-528-57235-3.
• Hermann Schaal, Ekkehart Glässner: Lineare Algebra und analytische Geometrie. Band 1, Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1976, ISBN 3-528-03056-9.
• Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band II: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, 1990, ISBN 3-411-14101-8.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Affine Abbildung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.