Standart normal dağılım

Normal dağılımı kullanarak bazı olasılık değerlerini elde etmek çok zor ve zahmetli bir iştir.[1] [2][3] Bu yüzden elde edilen normal dağılımın ortalaması sıfıra ve varyansı da bire eşitlenerek daha kolay işlem yapılması sağlanabilir.[4] Bu işlem için kullanılan yönteme ise standart normal dağılım denir.[5][6][7]

X ∼ N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})\,\!}

şeklinde gösterdiğimiz normal dağılımın X değişkeninden, normal dağılımın ortalamasını çıkartıp standart sapmasına bölersek bir standartlaştırma işlemi yapmış oluruz ve bunu da şu şekilde gösteririz:

X − μ σ = Z ∼ N ( 0 , 1 ) {\displaystyle {\frac {X-\mu }{\sigma }}\!=Z\sim N(0,1)\,\!}

Örneğin bir sınıftaki not ortalaması 20 ve varyansı da 25 olan bir normal dağılımın 22'den daha az not alma olasılığını bulmak istersek:

X ∼ N ( 20 , 25 ) {\displaystyle X\sim N(20,25)\,\!}

şeklinde tanımımızı yaptıktan sonra bu verileri standart normal dağılım şekline dönüştürürüz:

22 − 20 5 = Z ∼ N ( 0 , 1 ) {\displaystyle {\frac {22-20}{5}}\!=Z\sim N(0,1)\,\!}

P(X<22) = P(Z<(22-20)/5) = P(Z<0.4) standart normal dağılım olasılığını elde ederiz. 0.4 olasılığını bulmak için standart normal dağılım tablosundan yararlanmamız gerekmektedir. Bulduğumuz sonucu yerine koyarsak P(Z<0.4) = 0,6554 olasılığını elde ederiz. Yani 22 den daha az not alma olasılığı yaklaşık %65'tir diyebiliriz. Bu tür veriler üniversitelerde not dağılımını hesaplamakta kullanıldığı için normal dağılımın diğer bir adı olan "çan eğrisi" olarak da adlandırılır.[8]

Standart normal dağılımın olasılık gösterimleri

  • P(Z>Z0) = 1 - P(Z<Z0)
  • P(Z<-Z0) = 1 - P(Z<Z0)
  • P(Z>-Z0) = P(Z<Z0) [Normal dağılımın simetrik olmasından dolayı da görülebilir]
  • P(Za<Z<Zb) = P(Z<Zb) - p(Z<Za)
  • P(-Za<Z<Zb) = P(Z<Zb) - [ 1 - P(Z<Za) ] = P(Z<Zb) + P(Z<Za) - 1

Kaynakça

  1. ^ O' Hagan, Anthony (2013). The Oxford handbook of applied Bayesian analysis. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0198703174. 
  2. ^ Racine, Jeffrey (2014). The Oxford handbook of applied nonparametric and semiparametric econometrics and statistics. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0199857944. 
  3. ^ Akemann, Gernot (2011). The Oxford handbook of random matrix theory. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0198744191. 
  4. ^ Hajek, Alan (2016). The Oxford handbook of probability and philosophy (1. bas.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0199607617. 
  5. ^ Chemla, Karine (2016). The Oxford handbook of generality in mathematics and the sciences. Oxford, Birleşik Krallık: Oxford University Press. ISBN 978-0198777267. 
  6. ^ Ferraty, Frederic (2011). The Oxford handbook of functional data analysis. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0199568444. 
  7. ^ Baltagi, Badi H. (2015). The Oxford handbook of panel data. New York, NY: Oxford University Press. ISBN 978-0199940042. 
  8. ^ Wilson, Robin J. (2016). Combinatorics: a very short introduction (1. bas.). Oxford, Birleşik Krallık: Oxford University Press. ISBN 978-0198723493.