Gradyan

Bu şekiller açıktan koyuya doğru artan skaler alanları ve artışa doğru yönelmiş yöntürevi vektörünü göstermektedir.
Kalkülüs
Kalkülüs
Türev
İntegral

İntegral Alma Yöntemleri:

  • Kısmi İntegrasyon
  • değişken değiştirme
  • g
  • t
  • d

Bir skaler alanın yön türevi (gradyan) artımın en çok olduğu yere doğru yönelmiş bir vektör alanını verir ve büyüklüğü değişimin en büyük değerine eşittir.[1]

Örneklemek gerekirse bir odadaki zamandan bağımsız sıcaklık dağılımı düşünülebilir. Sıcaklık dağılımı skaler bir alandır ve kartezyen koordinatlarda ϕ = ϕ ( x , y , z ) {\displaystyle \phi =\phi (x,y,z)\,} olarak gösterilebilir. Bu dağılımın yöntürevi en çok ısınan yeri işaret edecektir ve yöntürevi büyüklüğü de o yöndeki ısınmanın miktarını verecektir. Başka bir örnek olarak bir yokuş ele alınabilir. Yokuşa onu üstten kesen bir düzlemden bakılırsa ortaya çıkan fonksiyon yokuşun eğim profili H = H ( x , y ) {\displaystyle H=H(x,y)\,} 'i verir (basitlik için yokuşu iki boyutta düşünmek faydalı olacaktır). Bu fonksiyonun yöntürevi yokuşun en dik yerini, yöntürevinin büyüklüğü de bu yerin dikliğini verir.

Tanım

x genelleştirilmiş koordinatların kapalı gösterimi olmak üzere x = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})} bir f(x) fonksiyonunun yöntürevi

∇ f = ( ∂ f ∂ x 1 , … , ∂ f ∂ x n ) {\displaystyle \nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)}

şeklinde gösterilir. Burada ∇ {\displaystyle \nabla \,} , del işlemcisini temsil etmektedir. Başka bir gösterim ise grad' ftir.

Örnek

f ( x , y , z ) = x 3 + e 2 y − cos ⁡ ( w z ) {\displaystyle f(x,y,z)=x^{3}+e^{2y}-\cos(wz)\,} olmak üzere f fonksiyonunun gradyanı:

∇ f = ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z ) = ( 3 x 2 , 2 e 2 y , w sin ⁡ ( w z ) ) . {\displaystyle \nabla f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{3x^{2}},{2e^{2y}},{w\sin(wz)}\end{pmatrix}}.}

olarak elde edilir.

Bir göndermeyi doğrusallaştırma

Herhangi bir f(x) göndermeyi, bir x 0 {\displaystyle x_{0}} noktasında

g ( x ) = f ( x 0 ) + ( ∇ x f ( x 0 ) ) T ( x − x 0 ) {\displaystyle g(x)=f(x_{0})+(\nabla _{x}f(x_{0}))^{T}(x-x_{0})}

yaklaşımı yapılarak doğrusallaştırılabilir. g(x) doğrusu f(x) göndermesinin x 0 {\displaystyle x_{0}} noktasında doğrusallaştırılmış halidir.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

  1. ^ Bachman, David (2007). Advanced Calculus Demystified. New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-148121-2. 
  • Korn, Theresa M.; Korn, Granino Arthur (2000). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. Dover Publications. ss. 157-160. ISBN 0-486-41147-8. OCLC 43864234. 

Dış bağlantılar