Euler-Mascheroni sabiti

Matematiksel analizin sayı teorisinde Euler–Mascheroni sabiti matematiksel sabit'tir. Yunan harfi Yunanca: γ (gama) ile gösterilir.

Harmonik seri ile doğal logaritma arasındaki fark veya limit'tir.

γ = lim n → ∞ ( ∑ k = 1 n 1 k − ln ⁡ ( n ) ) = ∫ 1 ∞ ( 1 ⌊ x ⌋ − 1 x ) d x . {\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n)\right)=\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx.}

sayısal değerin 50 basamağı:

0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 …|

γ {\displaystyle \gamma } ile e sayısı karıştırılmamalıdır e Euler sayısı, doğal logaritma'nın tabanı olarak bilinir.

Tarihçe

Sabit 1735'te İsviçreli matematikçi Leonhard Euler, De Progressionibus harmonicis observationes başlığı (Eneström Index 43) açıklanmıştır. Euler'in sabit için kullandığı notasyon C ve O dur. 1790'te, İtalyan matematikçi Lorenzo Mascheroni'nin sabit için kullandığı notasyon A ve a 'dır. γ gösterimine Euler veya Mascheroni sabiti dendi, daha sonra gama fonksiyonu ile ilişkisi anlaşıldı. Mesela Carl Anton Bretschneider tarafından γ notasyonu 1835'te kullanıldı.[1]

Tezahürleri

Euler-Mascheroni sabiti, diğer denklemler içerisinde görünür :

  • üstel integral ifadelerinde.
  • doğal logaritma'nın Laplace dönüşümü'nde.
  • Riemann zeta fonksiyonu'nun Taylor serisine açılımında ilk terim,burada Stieljes sabiti ilk terimdir.
  • Digama fonksiyonu hesaplamaları
  • Gama fonksiyonu'ndan üretilen bir formül
  • Euler totient fonksiyonu için bir eşitsizlik
  • Bölen fonksiyonu'nun büyük kesri
  • Meissel-Mertens sabiti için bir hesaplama
  • Mertens'in üçüncü teoremi
  • ikinci tür Bessel denklemi'nin çözümü.
  • Kuantum alan teorisi'nde Feynman diagram'larının Boyutsal düzenlenmesinde .
  • Gumbel dağılımının anlamı ile.

Bu tür için daha fazla bilgi,bkz: Gourdon ve Sebah (2004). 12 Aralık 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. rmulas.html Gourdon and Sebah (2004).]

Kimliği

γ sayısının cebirsel sayı veya aşkın sayı olup olmadığı bilinmiyor. Hatta γ'nın irrasyonel sayı olup olmadığıda bilinmiyor sürekli kesir'le rasyonel, γ paydası 10242080 'dan büyük olmalıdır.[kaynak belirtilmeli] Birçok denklemde ortaya çıkan γ'nın (pi/2e~0.5778) irrasyonalitesi? büyük bir açık sorudur.Sondow'a bakınız (2003a).

Daha fazla bilgi için bakınız: Gourdon and Sebah (2002). 12 Aralık 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

Gama fonksiyonu ile ilişkisi

γ digama fonksiyonu Ψ ile ilişkilidir, Ψ,gama fonksiyonu yani Γ 'unun türevidir.:

  − γ = Γ ′ ( 1 ) = Ψ ( 1 ) . {\displaystyle \ -\gamma =\Gamma '(1)=\Psi (1).}

Bunun limiti:

− γ = lim z → 0 { Γ ( z ) − 1 z } = lim z → 0 { Ψ ( z ) + 1 z } . {\displaystyle -\gamma =\lim _{z\to 0}\left\{\Gamma (z)-{\frac {1}{z}}\right\}=\lim _{z\to 0}\left\{\Psi (z)+{\frac {1}{z}}\right\}.}

Daha öte limit sonuçları (Krämer, 2005):

lim z → 0 1 z { 1 Γ ( 1 + z ) − 1 Γ ( 1 − z ) } = 2 γ {\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left\{{\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right\}=2\gamma }
lim z → 0 1 z { 1 Ψ ( 1 − z ) − 1 Ψ ( 1 + z ) } = π 2 3 γ 2 . {\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left\{{\frac {1}{\Psi (1-z)}}-{\frac {1}{\Psi (1+z)}}\right\}={\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}.}

beta fonksiyonu ile ilişkisi (dolayısıyla gama fonksiyonu)

γ = lim n → ∞ { Γ ( 1 n ) Γ ( n + 1 ) n 1 + 1 / n Γ ( 2 + n + 1 n ) − n 2 n + 1 } . {\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left\{{\frac {\Gamma ({\frac {1}{n}})\Gamma (n+1)\,n^{1+1/n}}{\Gamma (2+n+{\frac {1}{n}})}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right\}.}
γ = lim m → ∞ ∑ k = 1 m ( m k ) ( − 1 ) k k ln ⁡ ( Γ ( k + 1 ) ) . {\displaystyle \gamma =\lim \limits _{m\to \infty }\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\ln(\Gamma (k+1)).}

Zeta fonksiyonu ile ilişkisi

Pozitif tam sayı içeren Riemann zeta fonksiyonu'nun sonsuz toplamı γ sabitine yakınsar:

γ = ∑ m = 2 ∞ ( − 1 ) m ζ ( m ) m = ln ⁡ ( 4 π ) + ∑ m = 2 ∞ ( − 1 ) m ζ ( m ) 2 m − 1 m . {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{m}}\\&=\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)+\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{2^{m-1}m}}.\end{aligned}}}

zeta fonksiyonu içeren diğer serilerle ilişkisi:

γ = 3 2 − ln ⁡ 2 − ∑ m = 2 ∞ ( − 1 ) m m − 1 m [ ζ ( m ) − 1 ] = lim n → ∞ [ 2 n − 1 2 n − ln n + ∑ k = 2 n ( 1 k − ζ ( 1 − k ) n k ) ] = lim n → ∞ [ 2 n e 2 n ∑ m = 0 ∞ 2 m n ( m + 1 ) ! ∑ t = 0 m 1 t + 1 − n ln ⁡ 2 + O ( 1 2 n e 2 n ) ] . {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\frac {3}{2}}-\ln 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}[\zeta (m)-1]\\&=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2\,n-1}{2\,n}}-\ln \,n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right]\\&=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{m\,n}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\,\ln 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right].\end{aligned}}}

Son denklemde n sayısı nedeniyle hata teriminin hızla azalması hesaplama için uygundur.

Diğer ilginç limit eşitliği Euler–Mascheroni sabitinin antisimetrik limitidir. (Sondow, 1998)

γ = lim s → 1 + ∑ n = 1 ∞ ( 1 n s − 1 s n ) = lim s → 1 ( ζ ( s ) − 1 s − 1 ) {\displaystyle \gamma =\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)}

ve

γ = lim n → ∞ 1 n ∑ k = 1 n ( ⌈ n k ⌉ − n k ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right).\end{aligned}}}

rasyonel zeta serisi ifadesi ile de yakında ilişkilidir.

γ = ∑ k = 1 n 1 k − ln ⁡ n − ∑ m = 2 ∞ ζ ( m , n + 1 ) m {\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n-\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {\zeta (m,n+1)}{m}}}

Burada ζ(s,k) Hurwitz zeta fonksiyonu'dur. Bu denklem harmonik sayılar'ın toplamını içermektedir., Hn. Hurwitz zeta fonksiyonu'nun açılımındaki bazı terimler:

H n = ln ⁡ n + γ + 1 2 n − 1 12 n 2 + 1 120 n 4 − ε {\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\varepsilon } , burada 0 < ε < 1 252 n 6 . {\displaystyle 0<\varepsilon <{\frac {1}{252n^{6}}}.}

Notlar

  1. ^ Krämer 2005

Kaynakça

  • Borwein, Jonathan M., David M. Bradley, Richard E. Crandall (2000). "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function". Journal of Computational and Applied Mathematics. Cilt 121. s. 11.  |başlık= dış bağlantı (yardım)KB1 bakım: Birden fazla ad: yazar listesi (link) Derives γ as sums over Riemann zeta functions.
  • Gourdon, Xavier, and Sebah, P. (2002) "Collection of formulas for Euler's constant, γ. 12 Aralık 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi."
  • ----- (2004) "The Euler constant: γ. 28 Nisan 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi."
  • Donald Knuth (1997) The Art of Computer Programming, Vol. 1, 3rd ed. Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4
  • Krämer, Stefan (2005) Die Eulersche Konstante γ und verwandte Zahlen. Diplomarbeit, Universität Göttingen.
  • Sondow, Jonathan (1998) "An antisymmetric formula for Euler's constant," Mathematics Magazine 71: 219-220.
  • ------ (2002) "A hypergeometric approach, via linear forms involving logarithms, to irrationality criteria for Euler's constant." With an Appendix by Sergey Zlobin, Mathematica Slovaca 59: 307-314.
  • ------ (2003) "An infinite product for eγ via hypergeometric formulas for Euler's constant, γ."
  • ------ (2003a) "Criteria for irrationality of Euler's constant," Proceedings of the American Mathematical Society 131: 3335-3344.
  • ------ (2005) "Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula," American Mathematical Monthly 112: 61-65.
  • ------ (2005) "New Vacca-type rational series for Euler's constant and its 'alternating' analog ln 4/π."
  • ------ and Wadim Zudilin (2006), "Euler's constant, q-logarithms, and formulas of Ramanujan and Gosper," Ramanujan Journal 12: 225-244.
  • G. Vacca (1926), "Nuova serie per la costante di Eulero, C = 0,577…". Rendiconti, Accademia Nazionale dei Lincei, Roma, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali (6) 3, 19–20.
  • James Whitbread Lee Glaisher (1872), "On the history of Euler's constant". Messenger of Mathematics. New Series, vol.1, p. 25-30, JFM 03.0130.01
  • Carl Anton Bretschneider (1837). "Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova". Crelle Journal, vol.17, p. 257-285 (submitted 1835)
  • Lorenzo Mascheroni (1790). "Adnotationes ad calculum integralem Euleri, in quibus nonnulla problemata ab Eulero proposita resolvuntur". Galeati, Ticini.
  • Lorenzo Mascheroni (1792). "Adnotationes ad calculum integralem Euleri. In quibus nonnullae formulae ab Eulero propositae evolvuntur". Galeati, Ticini. Both online at: http://books.google.de/books?id=XkgDAAAAQAAJ 24 Ekim 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • Havil, Julian (2003). Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton University Press. ISBN 0-691-09983-9. 

Dış bağlantılar

  • Krämer, Stefan. "Euler's Constant γ=0.577... Its Mathematics and History". 17 Ekim 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. 
  • "Jonathan Sondow". 10 Aralık 2007 tarihinde kaynağından arşivlendi. 
  • g
  • t
  • d
Çalışmalar
  • Mechanica
  • Introductio in analysin infinitorum
  • Institutiones calculi differentialis
  • Institutiones calculi integralis
  • Letters to a German Princess
Kavramlar
ve teoriler
Diğer
Otorite kontrolü Bunu Vikiveri'de düzenleyin