Del işlemcisi

Yöney analizinde del işlemcisi, 3 boyutlu Kartezyen koordinatlarda nabla işlemcisine denk gelir ve ${\displaystyle \nabla }$ simgesiyle gösterilir.

Bu işlemci fiziksel matematikte ve yöney analizinde büyük kolaylık sağlaması bakımından bir uzlaşımdır. Temelde parçalı türevdir ve tam türevin çarpanlarından biri olarak düşünülebilir. Bilinen çarpma ve çarpım işlemleriyle yöneysel ve sayıl alanlara etkir. Ancak bilinen çarpmayla kullanıldığı halde değişmeli değildir, yazılımda sağ tarafındaki çarpana uygulanır.

Tanım

Del işlemcisi tam türevden tanımlanır:

${\displaystyle dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial z}}dz=\left({\hat {e}}_{x}{\frac {\partial F}{\partial x}}+{\hat {e}}_{y}{\frac {\partial F}{\partial y}}+{\hat {e}}_{z}{\frac {\partial F}{\partial z}}\right)\cdot (e_{x}dx+e_{y}dy+e_{z}dz)={\vec {\nabla }}F\cdot d{\vec {r}}}$

O halde, işlemci

${\displaystyle {\vec {\nabla }}={\hat {e}}_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {e}}_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {e}}_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}}$

olarak tanımlanmış olur. Burada ${\displaystyle {\partial }/{\partial x_{i}}}$ işlemcisi parçalı türev, ${\displaystyle {\hat {e}}_{i}}$'ler de birim yöneydir. ${\displaystyle i}$=(1,2,3) n-boyutlu Öklit uzayında bu gösterim:

${\displaystyle {\vec {\nabla }}=\sum _{i=1}^{n}{\hat {e}}_{i}{\partial \over \partial x_{i}}}$

olarak genellenebilir. Buradaki ${\displaystyle e_{i}}$ 'ler birim yöneylerdir ve ${\displaystyle i}$=1, 2, ..., n alınır.

Ayrıca Einstein toplam uzlaşımı gereği nabla işlemcisi tensör olarak:

${\displaystyle \nabla _{i}={\hat {e}}_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}.}$

şeklinde de gösterilebilir. tensör gösteriminde ${\displaystyle F}$ 'ye etkiyen del işlemcisi virgülle de gösterilebilir:

${\displaystyle \nabla _{i}F={\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}=\partial _{i}F=F_{,i}}$

Burada ${\displaystyle i}$=1,2,3 alınır.

Örnekler

• Del işlemcisinin matematikteki çeşitli kullanım alanları: yön türevi, diverjans, dönül, laplasyen.
• Elektromanyetizmada Maxwell Denklemleri del işlemcisiyle ifade edilir. ${\displaystyle \rho _{s}\,}$ ve ${\displaystyle {\vec {J}}_{s}}$ sırasıyla serbest yüklerin yoğunluğu ve akısı olmak üzere,

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {D}}=\rho _{s}}$

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {B}}=0}$

${\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}$

${\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\vec {J}}_{s}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}}$

• Fizikte korunumlu kuvvetler için potansiyel ifadesi yazılır, bu yüzden korunumlu bir ${\displaystyle {\vec {F}}}$ kuvveti için:

${\displaystyle {\vec {F}}=-\nabla \Phi }$

ifadesi geçerlidir ki burada ${\displaystyle \Phi }$ göndermesi, eğer ${\displaystyle {\vec {F}}}$ elektriksel kuvvetse elektrik alan, eğer ${\displaystyle {\vec {F}}}$ manyetik kuvvetse manyetik alan ya da eğer ${\displaystyle {\vec {F}}}$ kütleçekim kuvveti ise kütleçekimi alanıdır.

• Dalga denkleminde

${\displaystyle \nabla ^{2}F-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial ^{2}t}}=0}$

• d'Alembert İşlemcisi

${\displaystyle \square ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}}$

Özel görelilikte del işlemcisi

Genelde 3 boyutlu Öklityen uzay ile 4 boyutlu Minkowski uzayı arasındaki fark bu maddede de uygulandığı gibi genellikle 3-yöneyler Latin abecesiyle (i,j,k,...) gösterilirken 4-yöneylerin yunan abecesiyle (${\displaystyle \alpha ,\beta ,\dots ,\mu ,\nu ,\dots }$ ) gösterilmektedir.

Del işlemcisi genel olarak her yöne ait parçalı türevdir. Einstein'ın Özel Görelilik kuramında 4-del işlemcisi şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle \partial _{\mu }=({\frac {\partial }{\partial ct}},{\vec {\nabla }})=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$

Burada ${\displaystyle \mu =0,1,2,3}$ alınır ve c ışık hızıdır.

Tensör gösteriminde virgül türev olarak ifade edilir:

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x_{\mu }}}=\partial _{\mu }F=F_{,\mu }}$

Burada ${\displaystyle \mu ={0,1,2,3}}$ alınır.

Maxwell denklemlerinin tensör gösterimi

Maxwell Denklemler tensörlerle ifade edilebilir. Kaldı ki bu şekilde dört tane olan denklem sayısı ikiye inmiş olur.

${\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=J^{\nu }}$

${\displaystyle \partial _{\sigma }F_{\mu \nu }+\partial _{\nu }F_{\sigma \mu }+\partial _{\mu }F_{\nu \sigma }=0}$

Bu denklemleri daha da sade yazabiliriz:

${\displaystyle {F^{\mu \sigma }}_{,\mu }=J^{\nu }}$

${\displaystyle \epsilon _{\tau \mu \nu \sigma }{F^{\nu \sigma }}_{,\mu }=0}$

Buradaki ${\displaystyle \epsilon _{\delta \alpha \beta \gamma }}$ çarpanı Levi-Civita Tensörüdür.^[1][2][3]

Kaynakça