Plan (geometri)

 Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-03)
Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Inom matematiken är ett plan en flat, tvådimensionell yta med oändlig utsträckning. Plan kan förekomma som underrum till rum av godtyckliga dimensioner eller kan ha en oberoende existens som i fallet euklidisk geometri. Plangeometri är läran om geometriska figurer i planet.

Plan i R3

Om (x0, y0, z0) är en ortsvektor till en punkt i planet och (A, B, C) är en normalvektor till planet, kan planets ekvation skrivas som skalärprodukten av en normalvektor och vektorn (x - x0, y - y0, z - z0):

( A ,   B ,   C ) ( x − x 0 ,   y − y 0 ,   z − z 0 ) = 0 {\displaystyle (A,\ B,\ C)(x\,-\,x_{0},\ y\,-\,y_{0},\ z\,-\,z_{0})=0\,}

vilket ger den allmänna formen av planets ekvation som

A x + B y + C z + D = 0 {\displaystyle Ax\,+\,By\,+\,Cz\,+\,D\,=\,0}

där D är

− ( A x 0 + B y 0 + C z 0 ) {\displaystyle -(Ax_{0}\,+\,By_{0}\,+\,Cz_{0})}

En ekvation av första graden representerar alltid ett plan. För planets normal är riktningscosinerna (cosinus för de vinklar som normalvektorn bildar med koordinataxlarna)

A ± A 2 + B 2 + C 2 ) , B ± A 2 + B 2 + C 2 ) , C ± A 2 + B 2 + C 2 ) {\displaystyle {\frac {A}{\pm {\sqrt {A^{2}\,+\,B^{2}\,+\,C^{2})}}}},\quad {\frac {B}{\pm {\sqrt {A^{2}\,+\,B^{2}\,+\,C^{2})}}}},\quad {\frac {C}{\pm {\sqrt {A^{2}\,+\,B^{2}\,+\,C^{2})}}}}}

Tecknet framför roten väljs så att

D ± A 2 + B 2 + C 2 ) {\displaystyle {\frac {D}{\pm {\sqrt {A^{2}\,+\,B^{2}\,+\,C^{2})}}}}} alltid är positiv. Därigenom är normalen riktad mot planets "positiva" sida.

Normalform

Genom division med

± A 2 + B 2 + C 2 ) {\displaystyle \pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2})}}}

erhålls planets ekvation på normalform

x cos ⁡ α + y cos ⁡ β + z cos ⁡ γ = p {\displaystyle x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma =p}

där α , β , γ {\displaystyle \alpha ,\,\beta ,\,\gamma } är de vinklar som planets normal bildar med koordinataxlarna och p är längden av normalen från origo till planet.

Vektorform

Ekvationen för ett plan med normalvektorn n, en given punkt r0 och med r som ortsvektor för en godtycklig punkt (x, y, z) i planet är

( r − r 0 ) n = 0 {\displaystyle (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})\mathbf {n} =0\,}

Se även

  • Geometri


v • r
Linjär algebra
Grundläggande begrepp
Skalär · Vektor · Noll · Ortogonalitet · Ekvationssystem · Rum · Linjärkombination · Inre produkt · Oberoende · Bas · Radrum · Kolonnrum · Nollrum · Gram-Schimdt · Egenvärde · Hölje · Linjäritet
Bild på euklidiska rummet
Vektoralgebra
Matriser
Elementär · Block · Enhet · Determinant · Norm · Rang · Transformation · Rotation · Invers · Cramers regel · Trappstegsform · Spår · Transponat · Gausselimination · Symmetri · Addition
Multilinjär algebra
Geometrisk algebra · Yttre algebra · Bivektor · Multivektor · Tensor
Konstruktioner
Delrum · Dualrum · Funktionsrum · Kvotrum · Tensorprodukt
Numerik
Kategori Kategori