Limes je jedan od osnovnih pojmova u matematičkoj analizi.
Limes niza
Neka je
niz realnih ili kompleksnih brojeva. Reći ćemo da niz
konvergira broju L (realan ili kompleksan broj) ako vrijedi
. Možemo to interpretirati na način da kažemo da za dovoljno velike n-ove članovi niza će biti sve bliže broju L. Poznavajući realne nizove možemo poznavati i kompleksne nizove jer vrijedi da kompleksan niz
možemo pisati kao
, gdje su
i
realni nizovi. Ako niz
konvergira k
, onda vrijedi da je
i isto za niz
(što je lagano za pokazati).
Ako niz realnih brojeva nije konvergentan kažemo da je divergentan.
Limes niza se "dobro" ponaša i na računske operacije. Za nizove
takve da
i
vrijedi:
![{\displaystyle \lim _{n}(a_{n}+b_{n})=A+B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13dcf51aeca188d66b727ffb0f8c596a611cfb1d)
![{\displaystyle \lim _{n}(c\cdot a_{n})=c\cdot A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d101492e08965155905e4d976f3f165d7e25e02d)
![{\displaystyle \lim _{n}(a_{n}\cdot b_{n})=A\cdot B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d8f2f4fb07389734aa42efa48b171eada526141)
![{\displaystyle B\neq 0\Rightarrow \lim _{n}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {A}{B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7104623317d72b4fed1a4b9be1228ecffd513a45)
![{\displaystyle |\lim _{n}a_{n}|=\lim _{n}|a_{n}|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f71af8b146518fced5ce216ab3fbe38306d4514)
Limes funkcija
Neka je
,
,
i
funkcija. Kažemo da ƒ ima limes
u točki c ili da ƒ konvergira prema L kada x teži prema c ako vrijedi
što pišemo
. To možemo izreći na način da kažemo da čim neki niz koji je sadržan u okolini c i teži k c, a nije baš c (jer mi ne znamo jeli c u domeni ili ne) da tada niz funkcijskih vrijednosti teži prema L.
Postoji i tzv. epsilon-delta definicija koji je ekvivalentna definiciji preko nizova. Pa neka je
. Kažemo da ƒ ima limes
u
ako vrijedi