Jednakostranični trougao (u starijoj literaturi je moguće naći i izraze jednakostrani, ravnostrani) je trougao čije su sve stranice jednake
odnosno
takođe, svi uglovi su jednaki
.
Može se upisati i opisati krug. Poluprečnik opisanog kruga se označava sa R (velikim latiničnim slovom r), a poluprečnik upisanog sa r (malim latiničnim slovom r). Inače se poluprečnik obilježava sa "r" ili "R" (en. radius), a prečnik sa "d" ili "D" (en. diameter).
Jednakostraničan trougao se može naći u mnogim geometrijskim konstrukcijama. Pravilan šestougao se sastoji od šest jednakostraničnih trouglova. Tri od pet pravilnih poliedara (Platonova tela) sadrže jednakostranične trouglove kao stranice.
Ako se jednakostraničan trougao može smatrati pravilnom geometrijskom slikom sa najmanjim brojem temena odnosno stranica u ravni tada se pravilan tetraedar, koji se sastoji od četiri jednakostranična trougla, može smatrati analogonom u tri dimenzije, jer je on pravilno geometrijsko telo sa najmanjim brojem temena, ivica odnosno stranica.
Sadržaj
1Svojstva
2Ostale osobine
3Konstrukcija
4Površina
4.1Pomoću Pitagorine teoreme
4.2Pomoću trigonometrije
5Visina
6Zanimljivosti
7Povezano
8Spoljašnje veze
Svojstva
Presek težišnih duži (T), presek visina (H), simetrala stranica (centar opisane kružnice O), simetrala uglova (centar upisane kružnice O) se seku u jednoj tački.
Težišne duži su međusobno jednake.
Visine su međusobno jednake.
Težišne duži su podudarne visinama. Takođe, težišne duži su podudarne simetralama uglova i stranica.
Težišne duži se seku u razmeri 2:1, odnosno tačka u kojoj se seku sve duži deli duž u odnosu 2:1. Ovo su osobine koje su jedinstvene za jednakostraničan trougao.
Odnos površine kružnice upisane u jednakostranični trougao i površine trougla je
Odnos površine trougla i kvadrata njegovog obima
Ako su vrhovi trougla određeni su kompleksnim brojevima , , respektivno, tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna:
je jednakostraničan trougao
za
za
Ako su ), i vrhovi pozitivno orijentisanog trougla , onda su sledeće tvrdnje ekvivalentne:
je jednakostraničan trougao;
, gde je
, gde je
Za bilo koju tačku P u ravni trougla čije su udaljenosti , i od vrhova , , i , važi
Za bilo koju tačku upisane kružnice jednakostraničnog trougla, sa udaljenostima , i od vrhova važi
Konstrukcija
Povučemo pravu Na njoj konstruišemo kružnicu čiji je prečnik jednak 2a. Presječna tačka kružnice i prave je centar druge kružnice prečnika 2a.
Dobijene tačke kao presjek te dvije kružnice i njihov presjek sa pravom su vrhovi trougla
II način
Povučemo pravu i konstruišemo kružnicu prečnika 2a čiji je centar na pravoj. presjek kružnice i prave je tačka koju uzmemo za centar kružnice istog prečnika.
Presjek te dvije kružnice su tačke čija udaljenost iznosi a. Sada lako dobijamo i treću tačku.
Površina
Površina se može izračunati standardnom formulom: ali postoje i druge formule koja važe za izračunavanje površine jednakostraničnog trougla:
Formulu za površinu
lako možemo izvesti pomoću Pitagorine teoreme itrigonometrije.
Pomoću Pitagorine teoreme
Pomoću trigonometrije
Visina
Visinu je moguće izračunati pomoću jedne od dve formule:
Prva je uobičajena i povezuje se sa dužinom stranice:
,
a druga je izvedena iz formule za površinu:
⇒ kada se racionališe i skrati dobija se .
Zanimljivosti
Arheološko nalazište Lepenski Vir u Srbiji, iz doba neolita, sadrži ostatke staništa koja u svojoj osnovi imaju jednakostranični trougao.
Davidova zvezda, simbol jevrejskog naroda, se sastoji od dva obrnuta jednakostranična trougla. Uz ove trouglove se povezuju i izvesna religiozna značenja.
Mistični simbol Pitagorejaca, tetraktis, je bio oblika jednakostraničnog trougla.
Povezano
Trougao
Jednakokraki trougao
Pravougli trougao
Spoljašnje veze
Jednakostranični trougao na Wikimedijinoj ostavi
Jednakostranični trougao na mathworld.wolfram.com (en)
NEW PROOF OF EULER’S INRADIUS - CIRCUMRADIUS INEQUALITY
Another Proof of the Erdos-Mordell Theorem
Equilateral Triangles and Kiepert Perspectorsin Complex Numbers
Non-Euclidean Versions of Some Classical Triangle Inequalities
AN ELEMENTARY PROOF OF BLUNDON’S INEQUALITY
Primene kompleksnih brojeva u geometriji[mrtav link]