Sextica lui Cayley

În geometria algebrică sextica lui Cayley este o curbă plană, un membru al familiei de spirale sinusoidale, discutată pentru prima dată de Colin Maclaurin în 1718. Arthur Cayley a fost primul care a studiat curba în detaliu și a fost numită după el în 1900 de către Raymond Clare Archibald.^[1]

Curba este simetrică în raport cu axa Ox (y = 0) și se autointersectează în $y=0,x=a/8$ . Alte intersecții cu axa Ox sunt în origine și în $(a,\,0),$ iar cu axa Oy în $\pm {\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}a.$ ^[1]

Curba este podara (ruleta) cardioidei față de punctul său de întoarcere.^[1]

Este o curbă trisectoare.

Ecuațiile curbei

Ecuația curbei în coordonate polare este^[1]^[2]

r=4a\cos ^{3}{\frac {\pi }{3}}

În coordonate carteziene ecuația este^[1]^[3]

4\left(x^{2}+y^{2}-{\frac {a}{4}}x\right)^{3}=27\left({\frac {a}{4}}\right)^{2}(x^{2}+y^{2})^{2}

Sextica lui Cayley poate fi pusă în formă parametrică (ca o funcție periodică cu perioada $\pi ,$ $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ ) prin ecuațiile

x=\cos ^{3}t\cos 3t

y=\cos ^{3}t\sin 3t

Nodul este la $t=\pm \pi /3.$ ^[4]

Note

^ ^a ^b ^c ^d ^e en Lawrence, J. Dennis (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. p. 178. ISBN 0-486-60288-5.
^ en Christopher G. Morris. Academic Press Dictionary of Science and Technology. p. 381.
^ en David Darling (28 octombrie 2004). The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes. John Wiley and Sons. p. 62. ISBN 9780471667001.
^ en C. G. Gibson (2001). Elementary Geometry of Differentiable Curves: An Undergraduate Introduction. Cambridge University Press. ISBN 9780521011075.