Produs cartezian

Produsul cartezian este o operație matematică efectuată asupra a două mulțimi. Conceptul respectiv a fost denumit astfel după René Descartes, ale cărui formulări din domeniul geometriei analitice au dus la dezvoltarea acestui tip de operație.

Produsul cartezian a două mulțimi X și Y este o mulțime (numită și mulțimea-produs) formată din perechi ordonate ale căror prim component aparține mulțimii X, iar al doilea aparține mulțimii Y. Definiția produsului cartezian se poate extinde ușor și pentru cazul a n mulțimi. Apare în definirea vectorilor euclidieni și a noțiunii de funcție și relație binară.

Noțiune prealabilă: perechi ordonate

Fie ${\displaystyle A}$ și ${\displaystyle B}$ două mulțimi nevide. Dacă ${\displaystyle a\in A}$ iar ${\displaystyle b\in B,}$ atunci mulțimea ${\displaystyle \{\{a\},\ \{a,b\}\}}$ se numește pereche ordonată și se notează cu ${\displaystyle (a,b).}$

Perechile ordonate au proprietatea caractecteristică următoare: dacă ${\displaystyle a,s\in A}$ iar ${\displaystyle b,t\in B,}$ atunci ${\displaystyle (a,b)=(s,t)}$ dacă și numai dacă ${\displaystyle a=s}$ și ${\displaystyle b=t.}$

Definiția produsului cartezian

Fie ${\displaystyle A}$ și ${\displaystyle B}$ două mulțimi. Se numește produsul cartezian dintre mulțimea ${\displaystyle A}$ și mulțimea ${\displaystyle B,}$ mulțimea

${\displaystyle A\times B:=\{(a,b):a\in A,b\in B\}.}$

Fie ${\displaystyle A=\varnothing }$ mulțimea vidă, adică mulțimea care nu conține niciun element. Atunci nu există niciun ${\displaystyle a\in A,}$ deci ${\displaystyle \varnothing \times B=\varnothing }$. Analog, ${\displaystyle A\times \varnothing =\varnothing }$ și în particular ${\displaystyle \varnothing \times \varnothing =\varnothing }$.

Produsul cartezian ${\displaystyle A\times A}$ se notează și ${\displaystyle A^{2}.}$

Proprietăți algebrice

Ca operație binară, produsul cartezian are următoarele proprietăți algebrice:

• Este necomutativ, adică ${\displaystyle A\times B\neq B\times A}$ (cu excepția cazurilor ${\displaystyle A=\varnothing }$ sau ${\displaystyle B=\varnothing }$ sau ${\displaystyle A=B}$).
• Conservă proprietatea de incluziune: dacă ${\displaystyle A\subseteq C}$ și${\displaystyle B\subseteq D}$, atunci ${\displaystyle A\times B\subseteq C\times D.}$
• Este distributiv față de reuniune (${\displaystyle \cup }$), intersecție (${\displaystyle \cap }$) și diferență (${\displaystyle \setminus }$):
  • ${\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)}$;
  • ${\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)}$;
  • ${\displaystyle A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C)}$;
  • ${\displaystyle (A\cup B)\times C=(A\times C)\cup (B\times C)}$;
  • ${\displaystyle (A\cap B)\times C=(A\times C)\cap (B\times C)}$;
  • ${\displaystyle (A\setminus B)\times C=(A\times C)\setminus (B\times C)}$.

Cardinal

Pentru orice mulțimi finite ${\displaystyle A}$ și ${\displaystyle B,}$ cardinali mulțimilor ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ și ${\displaystyle A\times B}$ — adică numere lor respective de elemente — verifică:

${\displaystyle \mathrm {Card} (A\times B)=\mathrm {Card} (A)\times \mathrm {Card} (B)}$

De fapt, această egalitate este adevărată pentru orice mulțimi (finite sau infinite), cu condiția ca înmulțirea să fi fost definită pentru numerele cardinale.

Generalizare la n mulțimi

Această secțiune este un ciot. Puteți ajuta Wikipedia prin completarea sa !

În cazul a trei mulțimi produsul cartezian constă în triplete ordonate. Pentru n mulțimi se formează n-upluri ordonate.

Bibliografie

• Traian Ceaușu, Mulțimi numerice, Editura Mirton, Timișoara, 2009;
• Ștefan Balint, Ioan Cașu, Lecții de teoria mulțimilor, Editura Universității de Vest, Timișoara, 2004.

Portal Matematică