Formulele lui Viète

A nu se confunda cu formula lui Viète pentru numărul π!

În matematică, formulele lui Viète sunt relațiile dintre coeficienții unei ecuații algebrice și rădăcinile acesteia.

Dacă

${\displaystyle P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}}$

este un polinom de gradul ${\displaystyle n\geq 1}$ cu coeficienți numere complexe (deci ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1},a_{n}}$ sunt numere complexe cu ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$), iar ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ sunt rădăcinile sale, atunci

${\displaystyle S_{1}=x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}=-{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}\!}$

${\displaystyle S_{2}=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\ldots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\!}$

${\displaystyle S_{3}=x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+\ldots +x_{n-2}x_{n-1}x_{n}=-{\frac {a_{n-3}}{a_{n}}}\!}$

..............................................

${\displaystyle S_{k}=x_{1}x_{2}\ldots x_{k}+\ldots =(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}\!}$

..........................................

${\displaystyle S_{n}=x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\frac {a_{0}}{a_{n}}}.\!}$

Aceste relații au fost stabilite de François Viète în 1591 și se mai numesc și relații între rădăcini și coeficienți.

Aplicații

Aceste formule permit calcularea unor expresii algebrice care implică rădăcinile fără a le calcula efectiv. De exemplu se poate calcula suma inverselor rădăcinilor unei ecuații de gradul II, III fără a le explicita:

${\displaystyle \sum x_{i}^{-1}={\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}(+..)}$

care prin aducere la un numitor comun dau

${\displaystyle \sum x_{i}^{-1}={\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}}}$

care se pot înlocui direct din formulele lui Viète.

Observație

Relațiile nu trebuie confundate cu produsul infinit al lui Viète din trigonometrie:

${\displaystyle \cos \left({\theta \over 2}\right)\cdot \cos \left({\theta \over 4}\right)\cdot \cos \left({\theta \over 8}\right)\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\theta \over 2^{n}}\right)={\sin(\theta ) \over \theta }.}$