Câmp scalar

Acest articol se referă la o noțiune din calculul vectorial. Pentru alte sensuri, vedeți Câmp (dezambiguizare).

În analiza matematică, un câmp scalar este o funcție de mai multe variabile care asociază fiecărui punct al unui domeniu dintr-un spațiu euclidian un număr real, deci este o funcție scalară:

φ : D → R , φ ( P ) = φ ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) , ( ∀ ) P ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) ∈ D , {\displaystyle \varphi :D\to \mathbb {R} ,\;\varphi (P)=\varphi (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}),\;(\forall )P(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\in D,}

unde   D ⊆ E n . {\displaystyle D\subseteq E^{n}.}

Suprafață de nivel

Dându-se un punct fix   P 0 , {\displaystyle P_{0},}   suprafața de ecuație:

φ ( P ) = φ ( P 0 ) {\displaystyle \varphi (P)=\varphi (P_{0})}

se numește suprafață de nivel a câmpului   φ ( P ) , {\displaystyle \varphi (P),}   atașată punctului   P 0 . {\displaystyle P_{0}.}

Exemplu

Se consideră câmpul scalar tridimensional definit prin   φ ( r → ) = a → ⋅ r → , {\displaystyle \varphi ({\vec {r}})={\vec {a}}\cdot {\vec {r}},}   unde   a → {\displaystyle {\vec {a}}}   este un vector unitar constant, iar   r → {\displaystyle {\vec {r}}}   este vectorul de poziție al punctului curent din spațiu.

Atunci suprafețele de nivel ale câmpului sunt date de ecuația:

a → ⋅ r → = C , {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {r}}=C,}

unde C este o constantă. Aceste suprafețe sunt plane perpendiculare pe   a → . {\displaystyle {\vec {a}}.}  

De exemplu, suprafața de nivel care trece prin punctul   A ( 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle A(1,2,3)}   este planul perpendicular pe   a → {\displaystyle {\vec {a}}}   și care are ecuația:

a → ⋅ r → = a → ⋅ b → , {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {r}}={\vec {a}}\cdot {\vec {b}},}   unde   b → = i → + 2 j → + 3 k → . {\displaystyle {\vec {b}}={\vec {i}}+2{\vec {j}}+3{\vec {k}}.}  

Derivata după o direcție

Fie o curbă   ( Γ ) {\displaystyle (\Gamma )}   care trece printr-un punct   P 0 . {\displaystyle P_{0}.}   Dacă există limita:

lim P → P 0 φ ( P ) − φ ( P 0 ) l P 0 P = ( d φ d t → ) P 0 {\displaystyle \lim _{P\to P_{0}}{\frac {\varphi (P)-\varphi (P_{0})}{l_{P_{0}P}}}=\left({\frac {d\varphi }{d{\vec {t}}}}\right)_{P_{0}}}

valoarea acesteia se numește derivata câmpului scalar după direcția de versor   t → {\displaystyle {\vec {t}}}   în punctul   P 0 , {\displaystyle P_{0},}  

unde   t → {\displaystyle {\vec {t}}}   este versorul tangentei la curbă, în punctul P, iar   l P 0 P {\displaystyle l_{P_{0}P}}   este abscisa curbilinie a punctului   P {\displaystyle P}   față de   P 0 . {\displaystyle P_{0}.}  

Notând cu   n → {\displaystyle {\vec {n}}}   versorul normalei la suprafața de nivel care trece prin   P 0 {\displaystyle P_{0}}   și cu   θ {\displaystyle \theta }   unghiul dintre   t → {\displaystyle {\vec {t}}}   și   n → , {\displaystyle {\vec {n}},}   există relația:

( d φ d t → ) P 0 = ( d φ d n → ⋅ cos ⁡ θ . ) P 0 {\displaystyle \left({\frac {d\varphi }{d{\vec {t}}}}\right)_{P_{0}}=\left({\frac {d\varphi }{d{\vec {n}}}}\cdot \cos \theta .\right)_{P_{0}}}

Astfel, într-un spațiu tridimensional:

( d φ d n → ) P 0 = ( ∂ φ ∂ x 0 ) 2 + ( ∂ φ ∂ y 0 ) 2 + ( ∂ φ ∂ z 0 ) 2 . {\displaystyle \left({\frac {d\varphi }{d{\vec {n}}}}\right)_{P_{0}}={\sqrt {\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}\right)^{2}}}.}

Dacă   φ h ( P ) , ( h = 1 , 2 , ⋯ , n ) , {\displaystyle \varphi _{h}(P),\;(h=1,2,\cdots ,n),}   sunt funcții diferențiabile și la fel și funcția   F ( φ 1 , φ 2 , ⋯ , φ n ) , {\displaystyle F(\varphi _{1},\varphi _{2},\cdots ,\varphi _{n}),}   atunci:

d F d t → = ∑ h = 1 n ∂ F ∂ φ h ⋅ ∂ φ h ∂ t → . {\displaystyle {\frac {dF}{d{\vec {t}}}}=\sum _{h=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial \varphi _{h}}}\cdot {\frac {\partial \varphi _{h}}{\partial {\vec {t}}}}.}

Exemplu

Pentru calculul derivatei lui   Φ = x 2 y z + 4 x z 2 {\displaystyle \Phi =x^{2}yz+4xz^{2}}   în punctul   A ( 1 , 2 , − 1 ) {\displaystyle A(1,2,-1)}   și după direcția   2 i → − j → − 2 k → {\displaystyle 2{\vec {i}}-{\vec {j}}-2{\vec {k}}}   se fac calculele:

∇ → Φ = ∇ → ( x 2 y z + 4 x z 2 ) = ( 2 x y z + 4 z 2 ) i → + x 2 z j → + ( x 2 y + 8 x z ) k → , {\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\Phi ={\overrightarrow {\nabla }}(x^{2}yz+4xz^{2})=(2xyz+4z^{2}){\vec {i}}+x^{2}z{\vec {j}}+(x^{2}y+8xz){\vec {k}},}
∇ → Φ A = 8 i → − j → − 10 k → . {\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\Phi _{A}=8{\vec {i}}-{\vec {j}}-10{\vec {k}}.}

Vectorul unitar în direcția   2 i → − j → − 2 k → {\displaystyle 2{\vec {i}}-{\vec {j}}-2{\vec {k}}}   este:

a → = 2 i → − j → − 2 k → 2 2 + ( − 1 ) 2 + ( − 2 ) 2 = 2 3 i → − 1 3 j → − 2 3 k → . {\displaystyle {\vec {a}}={\frac {2{\vec {i}}-{\vec {j}}-2{\vec {k}}}{\sqrt {2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}}={\frac {2}{3}}{\vec {i}}-{\frac {1}{3}}{\vec {j}}-{\frac {2}{3}}{\vec {k}}.}

Deci:

∇ → Φ ⋅ a → = ( 8 i → − j → − 10 k → ) ⋅ ( 2 3 i → − 1 3 j → − 2 3 k → ) = 37 3 . {\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\Phi \cdot {\vec {a}}=(8{\vec {i}}-{\vec {j}}-10{\vec {k}})\cdot \left({\frac {2}{3}}{\vec {i}}-{\frac {1}{3}}{\vec {j}}-{\frac {2}{3}}{\vec {k}}\right)={\frac {37}{3}}.}

Gradientul unui câmp scalar

Dacă   α , β , γ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }   sunt componentele versorului   t → , {\displaystyle {\vec {t}},}   în cazul unui spațiu tridimensional:

( d φ d t → ) P 0 = α ∂ φ ∂ x 0 + β ∂ φ ∂ y 0 + γ ∂ φ ∂ z 0 . {\displaystyle \left({\frac {d\varphi }{d{\vec {t}}}}\right)_{P_{0}}=\alpha {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}+\beta {\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}+\gamma {\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}.}

Vectorul de componente   ∂ φ ∂ x 0 , ∂ φ ∂ y 0 , ∂ φ ∂ z 0 {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}}   se numește gradientul câmpului scalar diferențiabil   φ ( P ) {\displaystyle \varphi (P)}   în punctul   P 0 ∈ D {\displaystyle P_{0}\in D}   și se notează   ( g r a d φ ) P 0 . {\displaystyle (grad\;\varphi )_{P_{0}}.}  

Există relațiile:

g r a d φ = d φ d n → ⋅ n → {\displaystyle grad\;\varphi ={\frac {d\varphi }{d{\vec {n}}}}\cdot {\vec {n}}}
g r a d F ( φ 1 , φ 2 , ⋯ , φ n ) = ∑ h = 1 n ∂ F ∂ φ h ⋅ g r a d φ h . {\displaystyle grad\;F(\varphi _{1},\varphi _{2},\cdots ,\varphi _{n})=\sum _{h=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial \varphi _{h}}}\cdot grad\;\varphi _{h}.}

Operatorul diferențial vectorial:

∇ → == i → ∂ ∂ x + j → ∂ ∂ y + k → ∂ ∂ z {\displaystyle {\vec {\nabla }}=={\vec {i}}{\partial \over \partial x}+{\vec {j}}{\partial \over \partial y}+{\vec {k}}{\partial \over \partial z}}

se numește nabla sau operatorul Hamilton.

Deci:

g r a d φ = ∇ → φ , d φ d t → = ( t → ⋅ ∇ → ) ⋅ φ . {\displaystyle grad\;\varphi ={\vec {\nabla }}\varphi ,\;\;{\frac {d\varphi }{d{\vec {t}}}}=\left({\vec {t}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\right)\cdot \varphi .}

Derivata în raport cu un vector

Fie   u → {\displaystyle {\vec {u}}}   un vector de mărime u și versor   u → 0 , {\displaystyle {\vec {u}}_{0},}   adică   u → = u ⋅ u → 0 . {\displaystyle {\vec {u}}=u\cdot {\vec {u}}_{0}.}   Dacă se notează   u → ⋅ ∇ → = u ( u → 0 ⋅ ∇ ˙ ) {\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}=u\left({\vec {u}}_{0}\cdot {\dot {\nabla }}\right)}   atunci expresia:

( u → ⋅ ∇ → ) φ = u ⋅ d φ d u → 0 {\displaystyle \left({\vec {u}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\right)\varphi =u\cdot {\frac {d\varphi }{d{\vec {u}}_{0}}}}

se numește derivata funcției   φ ( P ) {\displaystyle \varphi (P)}   în raport cu vectorul   u → . {\displaystyle {\vec {u}}.}

Vezi și