Arc de cerc

Un sector de cerc colorat verde. Frontiera sa curbă de lungime L este un arc de cerc.

Un arc de cerc[1] este un arc al unui cerc dintre o pereche de puncte distincte. Dacă cele două puncte nu sunt direct opuse unul altuia, unul dintre aceste arcuri, arcul mic,[2] va subîntinde un unghi la centru care este mai mic de π radiani (180°), iar celălalt arc, arcul mare,[2] va subîntinde un unghi mai mare de π radiani.

Lungime

Lungimea unui arc de cerc cu raza "r" și care subîntinde un unghi la centru θ (măsurat în radiani) este: [3]

L = θ r . {\displaystyle L=\theta r.}

Asta deoarece

L c i r c u m f e r i n t a = θ 2 π . {\displaystyle {\frac {L}{\mathrm {circumferinta} }}={\frac {\theta }{2\pi }}.}

Substituind circumferința și simplificând se obține relația susmenționată:

L 2 π r = θ 2 π , {\displaystyle {\frac {L}{2\pi r}}={\frac {\theta }{2\pi }},}

Dacă α este același unghi, dar măsurat în grade, deoarece θ = α/180π, lungimea arcului este

L = α π r 180 . {\displaystyle L={\frac {\alpha \pi r}{180}}.}

O modalitate practică de a determina lungimea unui arc de cerc este să se traseze două drepte din punctele finale ale arcului până la centrul cercului, să se măsoare unghiul dintre aceste drepte și apoi să se calculeze

măsura unghiului în grade / 360° = L / circumferință.

De exemplu, dacă măsura unghiului este de 60° iar circumferința este de 24 m, atunci

60 360 = L 24 360 L = 1440 L = 4  m. {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {60}{360}}&={\frac {L}{24}}\\[6pt]360L&=1440\\[6pt]L&=4{\text{ m.}}\end{aligned}}}

Asta deoarece circumferința unui cerc și gradele unui cerc, care sunt întotdeauna 360, sunt direct proporționale.

Jumătatea superioară a unui cerc poate fi parametrizată ca

y = r 2 − x 2 . {\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}.}

Atunci lungimea arcului de la x = a {\displaystyle x=a} la x = b {\displaystyle x=b} este

L = r [ arcsin ⁡ ( x r ) ] a b . {\displaystyle L=r{\Big [}\arcsin \left({\frac {x}{r}}\right){\Big ]}_{a}^{b}.}

Aria sectorului

Aria sectorului format dintr-un arc și centrul unui cerc (adică mărginită de arc și de cele două raze trasate din punctele sale finale) este

A = r 2 θ 2 . {\displaystyle A={\frac {r^{2}\theta }{2}}.}

Aria A are aceeași proporție față de aria cercului ca și unghiul θ față de 2π (respectiv 360°):

A π r 2 = θ 2 π . {\displaystyle {\frac {A}{\pi r^{2}}}={\frac {\theta }{2\pi }}.}

Se simplifică π în ambii membri ai relației:

A r 2 = θ 2 . {\displaystyle {\frac {A}{r^{2}}}={\frac {\theta }{2}}.}

Înmulțind ambii membri cu r2 se obține în final:

A = 1 2 r 2 θ . {\displaystyle A={\frac {1}{2}}r^{2}\theta .}

Folosind conversia descrisă mai sus, aria sectorului pentru un unghi la centru măsurat în grade este

A = α 360 π r 2 . {\displaystyle A={\frac {\alpha }{360}}\pi r^{2}.}

Aria segmentului

Aria formei delimitate de arc și coardă (linia dreaptă dintre cele două puncte finale ale acestuia) este

1 2 r 2 ( θ − sin ⁡ θ ) . {\displaystyle {\frac {1}{2}}r^{2}(\theta -\sin \theta ).}

Asta se obține scăzând din aria sectorului aria triunghiului format din centrul cercului și cele două puncte de capăt ale arcului de cerc.

Raza

Produsul⁠(d) dintre segmentele A P ¯ {\displaystyle {\overline {AP}}} și P B ¯ {\displaystyle {\overline {PB}}} este egal cu produsul dintre segmentele C P ¯ {\displaystyle {\overline {CP}}} și P D ¯ . {\displaystyle {\overline {PD}}.} . Dacă coarda are lungimea AB și înălțimea CP, atunci diametrul cercului este C D = A P ⋅ P B C P + C P {\displaystyle CD={\frac {AP\cdot PB}{CP}}+CP}

Folosind puterea punctului față de cerc⁠(d) raza r a cercului se poate calcula din lungimea coardei, W, care subîntinde arcul și înălțimea H. Mediatoarea coardei împarte coarda în două jumătăți egale, fiecare cu lungimea W/2. Lungimea diametrului este de 2r și este împărțită în două părți de coardă. Lungimea unei părți este săgeata arcului, H, iar cealaltă parte este restul diametrului, cu lungimea 2r − H. Aplicarea teoremei coardelor care se intersectează la aceste două coarde produce

H ( 2 r − H ) = ( W 2 ) 2 , {\displaystyle H(2r-H)=\left({\frac {W}{2}}\right)^{2},}

de unde

2 r − H = W 2 4 H , {\displaystyle 2r-H={\frac {W^{2}}{4H}},}

prin urmare

r = W 2 8 H + H 2 . {\displaystyle r={\frac {W^{2}}{8H}}+{\frac {H}{2}}.}

Note

  1. ^ „arc” la DEX online
  2. ^ a b Tatiana Ceban, Unghi la centru. Arce de cerc. Unghi înscris în cerc. Clasa a VIII–IX-a., livresq.com, 28 iulie 2020, accesat 2021-08-28
  3. ^ en Larson, R., & Edwards, B. H., Calculus I with Precalculus, Boston: Brooks/Cole, 2002), p. 570

Legături externe

  • Materiale media legate de arc de cerc la Wikimedia Commons
  • en Table of contents for Math Open Reference Circle pages
  • en Math Open Reference page on circular arcs With interactive animation
  • en Math Open Reference page on Radius of a circular arc or segment With interactive animation
  • en Eric W. Weisstein, Arc la MathWorld.
Portal icon Portal Matematică