Teorema de Ptolomeu

O teorema de Ptolomeu refere-se a qualquer quadrilátero inscritível por uma circunferência, e pode ser enunciado da seguinte forma:

"O produto das diagonais é igual a soma dos produtos dos lados opostos". Isto é, sendo m e n suas diagonais, a,b,c e d seus lados, vale que: ${\displaystyle m\cdot n=a\cdot c+b\cdot d}$. Este teorema pode ser demonstrado da seguinte maneira:

Seja, como na figura ao lado, um quadrilátero ABCD inscrito numa circunferência de centro O. Vamos provar que ${\displaystyle AC.BD=AB.CD+AD.BC}$, isto é, provar que o produto das diagonais é igual a soma dos produtos dos lados opostos. Para isso, a partir do vértice A traçamos uma semirreta que intersecciona a semirreta ${\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}$ num ponto P tal que${\displaystyle m\angle {BAC}=m\angle {DAP}}$. Dado que o quadrilátero ABCD é inscritível, podemos dizer que seus ângulos opostos são suplementares ( ver [1]). Assim, é verdade que ${\displaystyle \angle {ABC}}$ é suplementar a ${\displaystyle \angle {ADC}}$. Da mesma maneira, temos que ${\displaystyle \angle {ADP}}$ é suplementar a ${\displaystyle \angle {ADC}}$, o que segue daí que são iguais: ${\displaystyle m\angle {ABC}=m\angle {ADP}}$. Assim, observe então que os triângulos BAC e DAP têm dois ângulos congruentes e podemos concluir que estes são semelhantes entre si pelo caso ângulo-ângulo (ver [2]). Disto é válido dizer que ${\displaystyle {\frac {AB}{AD}}={\frac {BC}{DP}}}$, que é o mesmo que ${\displaystyle DP={\frac {(AD)(BC)}{AB}}}$. Como construímos que ${\displaystyle m\angle {BAD}=m\angle {CAP}}$, segue que ${\displaystyle m\angle {BAD}=m\angle {CAP}}$e, da semelhança de triângulos que acabamos de mostrar, que ${\displaystyle {\frac {AB}{AD}}={\frac {AC}{AP}}}$. Então, pelo caso lado-ângulo-lado de semelhança de triângulos (ver [3]), dizemos que os triângulos ABD e ACP são semelhantes. Por conseguinte, também podemos inferir disso que ${\displaystyle {\frac {BD}{CP}}={\frac {AB}{AC}}}$, que é o mesmo que ${\displaystyle CP={\frac {(AC)(BD)}{AB}}}$. Mas perceba pela figura ao lado que ${\displaystyle CP=CD+DP}$. Substituindo tudo que já encontramos nessa expressão, teremos que ${\displaystyle {\frac {(AC)(BD)}{AB}}=CD+{\frac {(AD)(BC)}{AB}}}$. Resolvendo a expressão, podemos concluir então que${\displaystyle AC.BD=AB.CD+AD.BC}$, como queríamos.

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