Superfície regrada

Exemplo de superfície (duplamente) regrada: o hiperboloide de uma orla. Conjunto de segmentos de reta cujos extremos intersetam dois círculos paralelos em sentidos opostos. De notar a linha isolada que está na superfície, na parte mais estreita, e interseta todas as semirretas

Em geometria uma superfície é dita regrada se é obtida pela união de retas. Pode conceber-se uma superfície regrada como composta por múltiplas linhas, cuja união forma a própria superfície. Os exemplos mais comuns e mais fáceis de visualizar são o plano, o cilindro e o cone.

O interesse pelas superfícies regradas é devido ao facto de a propriedade ser regrada se conservar pelas homografias. Também por este motivos se encontram outras aplicações em geometria descritiva e em arquitetura.

Definição

Uma superfície S {\displaystyle S} diz-se regrada se existe uma família { r α } α ∈ A {\displaystyle \{r_{\alpha }\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}} tal que S {\displaystyle S} seja a união das retas dessa família: S = ⋃ α ∈ A r α {\displaystyle S=\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}r_{\alpha }} . Equivalentemente, S {\displaystyle S} é regrada se para cada ponto de s ∈ S {\displaystyle s\in S} passa uma reta r s {\displaystyle r_{s}} que esteja totalmente contida em S {\displaystyle S} [1].

Analogamente, uma superfície é dita duplamente regrada se for a união de duas famílias disjuntas de retas.

Ligações externas

  • Fotos de superfícies regradas construídas com massa filo
  • Modelos informáticos de superfícies regradas

Notas e referências

  1. ↑ A equivalência entre as duas noções é verificada facilmente. Por exemplo, se para cada ponto de S passa uma reta totalmente contida em S, a superfície será a união de tais retas. Inversamente, se S é a união de retas, para cada ponto seu deve passar pelo menos uma, e essa deve necessariamente estar contida em S (de outra forma na união estariam pontos externos a S).
  • Portal da matemática