Raio (geometria)

 Nota: Para outros significados de Raio, veja Raio (desambiguação).

O raio é a metade do diâmetro de uma circunferência. Pode ser definido também como a distância do centro a um ponto qualquer da circunferência.[1] Analogamente também se define o raio de uma esfera.

Sendo d o diâmetro e r o raio;

d = 2 r ⇒ r = d 2 {\displaystyle d=2r\quad \Rightarrow \quad r={\frac {d}{2}}}
Ilustração do raio de uma circunferência qualquer.

Fórmulas

Para várias figuras geométricas, o raio tem uma relação bem definida com outras medidas.

Círculos

Um círculo com circunferência C em preto, diâmetro D em ciano, raio R em vermelho, e centro ou origem O em verde.

O raio de um círculo com área A é

r = A π . {\displaystyle r={\sqrt {\frac {A}{\pi }}}.}

O raio de um círculo que conecta três pontos P1, P2 and P3 é dado por

r = | P 1 − P 3 | 2 sin ⁡ θ , {\displaystyle r={\frac {|P_{1}-P_{3}|}{2\sin \theta }},}

onde θ é o ângulo ∠ P 1 P 2 P 3 {\displaystyle \angle P_{1}P_{2}P_{3}} . Essa fórmula usa a lei dos senos. Se os três pontos são dados por suas coordenadas ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})} , ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle (x_{2},y_{2})} e ( x 3 , y 3 ) {\displaystyle (x_{3},y_{3})} , o raio pode ser expressado por

r = ( ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 ) ( ( x 2 − x 3 ) 2 + ( y 2 − y 3 ) 2 ) ( ( x 3 − x 1 ) 2 + ( y 3 − y 1 ) 2 ) 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 − x 1 y 3 − x 2 y 1 − x 3 y 2 | . {\displaystyle r={\frac {\sqrt {\left(\left({\it {x_{2}}}-{\it {x_{1}}}\right)^{2}+\left({\it {y_{2}}}-{\it {y_{1}}}\right)^{2}\right)\left(\left({\it {x_{2}}}-{\it {x_{3}}}\right)^{2}+\left({\it {y_{2}}}-{\it {y_{3}}}\right)^{2}\right)\left(\left({\it {x_{3}}}-{\it {x_{1}}}\right)^{2}+\left({\it {y_{3}}}-{\it {y_{1}}}\right)^{2}\right)}}{2\left|{\it {x_{1}}}\,{\it {y_{2}}}+{\it {x_{2}}}\,{\it {y_{3}}}+{\it {x_{3}}}\,{\it {y_{1}}}-{\it {x_{1}}}\,{\it {y_{3}}}-{\it {x_{2}}}\,{\it {y_{1}}}-{\it {x_{3}}}\,{\it {y_{2}}}\right|}}.}

Propriedades

  • O raio r e o comprimento c de uma circunferência relacionam-se por c = 2πr (lê-se: comprimento é igual a dois pi raio).
  • O teorema dos senos afirma que num triângulo de lados a, b e c inscrito numa circunferência de raio r se tem a s e n A ^ = b s e n B ^ = c s e n C ^ = 2 r {\displaystyle {\frac {a}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}}={\frac {b}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}={\frac {c}{\mathrm {sen} \,{\widehat {C}}}}=2r}
Este grafo tem raio 2, e os seus centros são os vértices 4 e 5 porque cada um deles está a uma distância não superior a 2 de todos os restantes.

Outros significados

O termo raio se aplica também a outras figuras, dependendo do seu sentido e contexto. Por exemplo, o raio de um cilindro refere-se ao raio da sua base, já o raio de um grafo refere-se à maior distância ao(s) centro(s) do grafo, que é definido como um vértice que minimiza a distância máxima aos restantes vértices.

Ver também

Referências

  1. ↑ http://www.infoescola.com/matematica/raio-e-diametro-de-uma-circunferencia/