Matriz positiva definida

Em álgebra linear, uma matriz definida positiva é uma matriz que, em muitos aspectos, é análoga a um número real positivo. A noção é parecida com a de uma forma bilinear simétrica positiva-definida (ou uma forma sesquilinear no caso complexo).

A definição adequada de definida positiva não tem ambiguidades no caso de matrizes Hermitianas, mas não há consenso na literatura a respeito de como ela deve ser estendida para matrizes não Hermitianas, se é que isso deve ser feito. (Consulte a seção sobre Matrizes não Hermitianas abaixo)

Definição

Uma matriz real M de ordem n × n é definida positiva se zTMz  > 0 para todos os vetores não-nulos z com entradas reais (isto é, z ∈ R n {\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{n}} ), em que zT denota o transposto de z.

Uma matriz complexa M de ordem n × n é definida positiva se ℜ(z*Mz) > 0 para todos os vetores complexos não-nulos z, em que z* denota o transposto conjugado de z e ℜ(c) é a parte real de um número complexo c.

Uma matriz complexa Hermitiana M de ordem n × n é definida positiva se z*Mz > 0 para todos os vetores complexos não-nulos z. A quantidade z*Mz é sempre um número real porque M é uma matriz hermitiana.

Caracterizações

Seja M uma matriz hermitiana n × n. As seguintes propriedades são equivalentes a M ser positiva definida:

1. Todos os autovalores λ i {\displaystyle \lambda _{i}} de M {\displaystyle M} são positivos. Lembre-se que que qualquer Hermitiana M possui uma decomposição espectral M = P−1DP em que P é uma matriz unitária cujas linhas são autovetores ortonormais de M, formando uma base, e D é uma matriz diagonal. Portanto M pode ser considerada como uma matriz diagonal real D que foi expressa em um outro sistema de coordenadas. Esta caracterização significa que M é positiva definida se e somente se os elementos da diagonal de D (os autovalores) são todos positivos. Em outras palavras, na base que consiste de autovetores de M, a ação de M é a multiplicação componente a componente com um elemento (fixo) de Cn com entradas positivas{{esclarecer|data=novembro de 2011.
2. A forma sesquilinear
⟨ x , y ⟩ = x ∗ M y {\displaystyle \langle {\textbf {x}},{\textbf {y}}\rangle ={\textbf {x}}^{*}M{\textbf {y}}}
define um produto interno em Cn. (De fato, todo produto interno em Cn é obtido desta forma a partir de uma matriz Hermitiana definida positiva.) Em particular, a propriedade de uma matriz Hermitiana ser positiva definida é equivalente ao fato de que ⟨ x , x ⟩ > 0 {\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle >0} para todo x diferente de zero.
3. M é a matriz de Gram de alguma coleção de vetores linearmente independentes
x 1 , … , x n ∈ C k {\displaystyle {\textbf {x}}_{1},\ldots ,{\textbf {x}}_{n}\in \mathbb {C} ^{k}}
para algum k. Em outras palavras, M tem a seguinte propriedade:

M i j = ⟨ x i , x j ⟩ = x i ∗ x j . {\displaystyle M_{ij}=\langle {\textbf {x}}_{i},{\textbf {x}}_{j}\rangle ={\textbf {x}}_{i}^{*}{\textbf {x}}_{j}.}

Opcionalmente, pode-se impor que os vetores xi pertençam a Cn. Em outras palavras, M é da forma A*A onde A não é necessariamente quadrada, mas deve ser injetora em geral.

4. Todas as matrizes a seguir possuem determinante positivo (o critério de Sylvester):
  • o canto superior esquerdo 1-por-1 de M {\displaystyle M}
  • o canto superior esquerdo 2-por-2 de M {\displaystyle M}
  • o canto superior esquerdo 3-por-3 de M {\displaystyle M}
  • ...
  • a própria M {\displaystyle M}

Em outras palavras, todos os menores principais líderes são positivos. Para matrizes semidefinidas positivas, todos os menores principais devem ser não-negativos. Considerar apenas os menores principais líderes não garante que a matriz seja semidefinida positiva, como pode se ver no exemplo

[ 0 0 0 − 1 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0\\0&-1\end{bmatrix}}.}

5. Existe uma única matriz triangular inferior L , {\displaystyle L,} com elementos da diagonal estritamente positivos, que permite a fatoração de M {\displaystyle M} como

M = L L ∗ . {\displaystyle M=LL^{*}.}
em que L ∗ {\displaystyle L^{*}} é a conjugada transposta de L . {\displaystyle L.} Esta fatoração é conhecida como a fatoração de Cholesky.

6. A função quadrática associada a M

f ( x ) = 1 2 x T M x − x T b {\displaystyle f(\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }M\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} }
é, indiferente ao valor de b, uma função estritamente convexa. Nesse caso, f ( x ) {\displaystyle f(\mathbf {x} )} possui um mínimo global, e isso explica porque as matrizes definidas positivas são tão comuns em problemas de otimização.

Para matrizes simétricas reais, estas propriedades podem ser simplificadas trocando-se C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} por R n , {\displaystyle \mathbb {R} ^{n},} e "transposição conjugada" por "transposição".

Formas quadráticas

Expandindo a condição 2 acima, pode-se formular a definição do que é ser "definida positiva" em termos de formas quadráticas. Seja K o corpo R ou C, e V um espaço vetorial sobre K. Uma forma Hermitiana

B : V × V → K {\displaystyle B:V\times V\rightarrow K}

é uma aplicação bilinear tal que B(x, y) é sempre o conjugado complexo de B(y, x). Uma função B deste tipo é chamada definida positiva se B(x, x) > 0 para todo x não-zero em V.

Matrizes definidas negativas, semidefinidas e indefinidas

Negativa definida

O n × n diz-se que a matriz Hermitiana M {\displaystyle M} é negativa definida se

x ∗ M x < 0 {\displaystyle x^{*}Mx<0}
para todo x ∈ R n {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} não-zero (ou, analogamente, todo x ∈ C n {\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}} não-zero).

A matriz m será negativa definida se e somente se:

  • A matriz simétrica resultante da soma de M com sua transposta, ( M + M T ) , {\displaystyle \left(M+M^{T}\right),} também for negativa definida [1].
  • A matriz inversa M − 1 {\displaystyle M^{-1}} for negativa definida.
  • Se a matriz M for simétrica, então ela será negativa definida se e somente se todos os seus valores característicos forem negativos.

A matriz é definida negativa se todos os auto-valores são negativos, é semi-definida positiva se todos são maiores ou iguais a zero, e semi-definida negativa se todos são menores ou iguais a zero.

Matriz semi-definida negativa

A matriz quadrada M é chamada semidefinida-negativa se

x ∗ M x ≤ 0 {\displaystyle x^{*}Mx\leq 0}
para todo x ∈ R n {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} (ou C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} ).

Matriz positiva semi-definida

A matriz quadrada M é chamada positiva-semidefinida se

x ∗ M x ≥ 0 {\displaystyle x^{*}Mx\geq 0}
para todo x ∈ R n {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} (ou C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} ).

A matriz M é positiva semi-definida se e somente se ela se sobressai como Gram matriz de alguns vetores fixos. Ao contrário do caso definido positivo, estes vetores não precisam ser linearmente independentes.

Comparação

Seja A uma matriz simétrica n X n e x um vetor (ou escalar, que é um vetor 1X1) em R N . {\displaystyle \mathbb {R} ^{N}.} Então[2][3]:

A matriz A é... Se e somente se... Ou, equivalentemente, se o valor dos autovalores λ i {\displaystyle \lambda _{i}} de A {\displaystyle A} Determinante das submatrizes principais Se esta condição valer, então a matriz inversa A − 1 . {\displaystyle A^{-1}.}
Semidefinida Não negativa (matriz positiva semi-definida) x T A x ≥ 0 , ∀ x ≠ 0 {\displaystyle x^{T}Ax\geq 0,\forall x\neq 0} Forem não-negativos[4] São todos não negativos e
Não-positiva (matriz semi-definida negativa) x T A x ≤ 0 , ∀ x ≠ 0 {\displaystyle x^{T}Ax\leq 0,\forall x\neq 0} são não positivas Alternam os sinais, sendo não positivos nas impares e não negativos nas pares e
Definida (e portanto também semidefinida) Positiva x T A x > 0 , ∀ x ≠ 0 {\displaystyle x^{T}Ax>0,\forall x\neq 0} Forem todos positivos[4] São todos positivos existe e é positiva definida [5]
Negativa x T A x < 0 , ∀ x ≠ 0 {\displaystyle x^{T}Ax<0,\forall x\neq 0} Forem todos negativos Alternam os sinais, sendo negativos nas impares e positivos nas pares e
Indefinida x T A x > 0 {\displaystyle x^{T}Ax>0} para alguns x e x T A x < 0 {\displaystyle x^{T}Ax<0} para outros x Exemplo e e

Note que a quantidade x T M x {\displaystyle x^{T}Mx} é sempre real. Esta expressão é conhecida como forma quadrática de M [3] .

Exemplos de matrizes positivas definidas

  • A matriz identidade I = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}} é definida positiva, pois a T I a = [ a 11 a 21 ] [ 1 0 0 1 ] [ a 11 a 21 ] = [ a 11 a 21 ] [ a 11 a 21 ] = a 11 2 + a 21 2 , {\displaystyle a^{T}Ia={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{bmatrix}}=a_{11}^{2}+a_{21}^{2},} que é sempre um número positivo (por ser uma soma de números não nulos ao quadrado).
  • A matriz real e simétrica Z = [ 2 − 1 0 − 1 2 − 1 0 − 1 2 ] {\displaystyle Z={\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}}} é positiva definida, pois

a T Z a = [ a 11 a 21 a 31 ] [ 2 − 1 0 − 1 2 − 1 0 − 1 2 ] [ a 11 a 21 a 31 ] = [ 2 a 11 − 1 a 21 + 0 a 31 − 1 a 11 + 2 a 21 − 1 a 31 0 a 11 − 1 a 21 + 2 a 31 ] [ a 11 a 21 a 31 ] = {\displaystyle a^{T}Za={\begin{bmatrix}{\color {Blue}a_{11}}&{\color {YellowOrange}a_{21}}&{\color {OliveGreen}a_{31}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\color {Red}2}&-1&0\\{\color {Magenta}-1}&2&-1\\{\color {Cyan}0}&-1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\a_{31}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {Red}2}{\color {Blue}a_{11}}{\color {Magenta}-1}{\color {YellowOrange}a_{21}}+{\color {Cyan}0}{\color {OliveGreen}a_{31}}&-1{\color {Blue}a_{11}}+2{\color {YellowOrange}a_{21}}-1{\color {OliveGreen}a_{31}}&0{\color {Blue}a_{11}}-1{\color {YellowOrange}a_{21}}+2{\color {OliveGreen}a_{31}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\a_{31}\end{bmatrix}}=}

a 11 [ 2 a 11 − 1 a 21 + 0 a 31 ] + a 21 [ − 1 a 11 + 2 a 21 − 1 a 31 ] + a 31 [ 0 a 11 − 1 a 21 + 2 a 31 ] = {\displaystyle a_{11}\left[{\color {Red}2}{\color {Blue}a_{11}}{\color {Magenta}-1}{\color {YellowOrange}a_{21}}+{\color {Cyan}0}{\color {OliveGreen}a_{31}}\right]+a_{21}\left[-1{\color {Blue}a_{11}}+2{\color {YellowOrange}a_{21}}-1{\color {OliveGreen}a_{31}}\right]+a_{31}\left[0{\color {Blue}a_{11}}-1{\color {YellowOrange}a_{21}}+2{\color {OliveGreen}a_{31}}\right]=}

a 11 [ 2 a 11 − 1 a 21 ] + a 21 [ − 1 a 11 + 2 a 21 − 1 a 31 ] + a 31 [ − 1 a 21 + 2 a 31 ] = [ 2 a 11 2 − 1 a 21 a 11 ] + [ − 1 a 11 a 21 + 2 a 21 2 − 1 a 31 a 21 ] + [ − 1 a 21 a 31 + 2 a 31 2 ] {\displaystyle a_{11}\left[{\color {Red}2}{\color {Blue}a_{11}}{\color {Magenta}-1}{\color {YellowOrange}a_{21}}\right]+a_{21}\left[-1{\color {Blue}a_{11}}+2{\color {YellowOrange}a_{21}}-1{\color {OliveGreen}a_{31}}\right]+a_{31}\left[-1{\color {YellowOrange}a_{21}}+2{\color {OliveGreen}a_{31}}\right]=\left[2a_{11}^{2}-1a_{21}a_{11}\right]+\left[-1a_{11}a_{21}+2a_{21}^{2}-1a_{31}a_{21}\right]+\left[-1a_{21}a_{31}+2a_{31}^{2}\right]}

Reorganizando os elementos da soma acima, temos: a 11 2 + { a 11 2 − 2 a 21 a 11 + a 21 2 } + { a 21 2 − 2 a 21 a 31 + a 31 2 } + a 31 2 = {\displaystyle a_{11}^{2}+\left\{a_{11}^{2}-2a_{21}a_{11}+a_{21}^{2}\right\}+\left\{a_{21}^{2}-2a_{21}a_{31}+a_{31}^{2}\right\}+a_{31}^{2}=}

a 11 2 + { a 11 − a 21 } 2 + { a 21 − a 31 } 2 + a 31 2 {\displaystyle a_{11}^{2}+\left\{a_{11}-a_{21}\right\}^{2}+\left\{a_{21}-a_{31}\right\}^{2}+a_{31}^{2}} , que é um número sempre positivo por ser uma soma de quadrados.

Exemplos de matrizes negativas definidas

  • A matriz identidade negativa − I = [ − 1 0 0 − 1 ] {\displaystyle -I={\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}}} é definida negativa, pois a T I a = [ a 11 a 21 ] [ − 1 0 0 − 1 ] [ a 11 a 21 ] = [ − a 11 − a 21 ] [ a 11 a 21 ] = − a 11 2 − a 21 2 , {\displaystyle a^{T}Ia={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-a_{11}&-a_{21}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{bmatrix}}=-a_{11}^{2}-a_{21}^{2},} que é sempre um número negativo (por ser uma soma de números não nulos ao quadrado multiplicada por (-1)).


Ver também

  • Raiz quadrada de uma matriz
  • Complemento de Schur
  • Kernel definido positivo
  • Função definida positiva

Referências

  1. ↑ MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael e GREEN, Jerry. Microeconomic Theory. Oxford University press, 1995. Section M.D matrices: Negative (Semi)Definiteness and Other properties, página 935.
  2. ↑ SIMON, Carl e BLUME, Lawrence. matemática para economistas. Porto Alegre: Bookman, 2004. Reimpressão 2008.
  3. ↑ a b INTRILIGATOR, Michael. Mathematical Optimization and Economic Theory. Prentice Hall Inc., 1971. Apêndice "B.8 - Quadratic Forms", página 495.
  4. ↑ a b BHAYA, Amit. Matrizes positivas definidas, semidefinidas, etc.. Aula 8. Disponível em: <http://www.nacad.ufrj.br/~amit/alglin/aula8.pdf>. Acesso em: 13 de julho de 2011.
  5. ↑ WOOLDRIDGE. Introdução à econometria. Ed. Thomson. Apêndice D- Resumo de álgebra matricial. Página 103
  • Roger A. Horn and Charles R. Johnson. Matrix Analysis, Chapter 7. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback).
  • Rajendra Bhatia. Positive definite matrices,. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0691129181.