Funções elípticas de Weierstrass

Definições

Pode-se definir à função elíptica de Weierstrass de três maneiras muito similares, cada uma delas possui certas vantagens. Uma é como uma função de variável complexa ${\displaystyle z}$ e uma retículo ${\displaystyle \Lambda }$ no plano complexo. Outra é em termos de ${\displaystyle z}$ e dois números complexos ${\displaystyle \omega _{1}}$ e ${\displaystyle \omega _{2}}$ que definem um par de geradores, ou períodos, do retículo. A terceira é em termo de ${\displaystyle z}$ e de um módulo ${\displaystyle \tau }$ no semiplano superior. Esta se relaciona com a definição prévia mediante a seguinte expressão ${\displaystyle \tau =\omega _{2}/\omega _{1}}$, a qual em virtude da convenção usual de pares de períodos se encontra no semiplano superior. Utilizando este método, para um ${\displaystyle z}$ fixo as funções de Weierstrass resultam ser funções modulares de ${\displaystyle \tau }$.

Considerando os dois períodos a função elíptica de Weierstrass é uma função elíptica com períodos ${\displaystyle \omega _{1}}$ e ${\displaystyle \omega _{2}}$ definida como

${\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{m^{2}+n^{2}\neq 0}\left\{{\frac {1}{(z-m\omega _{1}-n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{\left(m\omega _{1}+n\omega _{2}\right)^{2}}}\right\}.}$

Então ${\displaystyle \Lambda =m\omega _{1}+n\omega _{2}}$ são os pontos do par de retículos, pelo que

${\displaystyle \wp (z;\Lambda )=\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})}$

para todo par de geradores do retículo define a função de Weierstrass como uma função de uma variável complexa e um retículo.

Se ${\displaystyle \tau }$ é um número complexo no semiplano superior, então

${\displaystyle \wp (z;\tau )=\wp (z;1,\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n^{2}+m^{2}\neq 0}{1 \over (z-n-m\tau )^{2}}-{1 \over (n+m\tau )^{2}}.}$

A soma indicada anteriormente é homogênea com um grau menos dois, com o qual se pode definir a função ${\displaystyle \wp }$ de Weierstrass para todo par de períodos, como

${\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=\wp (z/\omega _{1};\omega _{2}/\omega _{1})/\omega _{1}^{2}.}$

Pode-se calcular ${\displaystyle \wp }$ de forma direta e rápida em termo das funções teta; porque as mesmas convergem rapidamente, esta é uma forma mais veloz de computar-se ${\displaystyle \wp }$ que as séries que nós usamos para definí-las. A fórmula é

${\displaystyle \wp (z;\tau )=\pi ^{2}\vartheta ^{2}(0;\tau )\vartheta _{10}^{2}(0;\tau ){\vartheta _{01}^{2}(z;\tau ) \over \vartheta _{11}^{2}(z;\tau )}+e_{2}(\tau )}$

onde

${\displaystyle e_{2}(\tau )=-{\pi ^{2} \over {3}}(\vartheta ^{4}(0;\tau )+\vartheta _{10}^{4}(0;\tau )).}$

Existe um polo de segunda ordem em cada ponto do retículo do período (incluindo a origem). Com estas definições, ${\displaystyle \wp (z)}$ é uma função par e sua derivada em relação a ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle \wp '}$, é uma função ímpar. Posteriores desenvolvimentos da teoria das funções elípticas mostram que a condição sobre a função de Weierstrass (corretamente chamada pe) é determinada pela adição de uma constante e multiplicação por uma constante não nula sobre os polos isolados, entre todos as funções meromorfas com o retículo do período dado.

Invariantes

Se pontos próximos à origem são considerados a série de Laurent apropriada é

${\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=z^{-2}+{\frac {1}{20}}g_{2}z^{2}+{\frac {1}{28}}g_{3}z^{4}+O(z^{6})}$

onde

${\displaystyle g_{2}=60\sum {}'\Omega _{m,n}^{-4},\qquad g_{3}=140\sum {}'\Omega _{m,n}^{-6}.}$

(aqui ${\displaystyle \Omega _{m,n}=m\omega _{1}+n\omega _{2}}$ e uma soma tracejada referem-se ao somatório sobre todos os pares de inteiros exceto ${\displaystyle m=n=0}$). Os números ${\displaystyle g_{2}}$ e ${\displaystyle g_{3}}$ são conhecidos como os invariantes — são dois termos externos da série de Eisenstein. (Abramowitz e Stegun limitam-se ao caso de ${\displaystyle g_{2}}$ real e ${\displaystyle g_{3}}$, estabelecendo neste caso "parecer abranger a maioria das aplicações"; isto pode ser verdadeiro do ponto de vista de matemática aplicada. Se ${\displaystyle \omega _{1}}$ é real e ${\displaystyle \omega _{2}}$ puramente imaginário, ou se ${\displaystyle \omega _{1}={\overline {\omega _{2}}}}$, os invariantes são reais).

Note-se que ${\displaystyle g_{2}}$ e ${\displaystyle g_{3}}$ são funções homogêneas de grau -4 e -6; isto é,

${\displaystyle g_{2}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$

e

${\displaystyle g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2}).}$

Então, por convenção, frequentemente escreve-se ${\displaystyle g_{2}}$ e ${\displaystyle g_{3}}$ em termos de razão de meio período ${\displaystyle \tau =\omega _{2}/\omega _{1}}$ e toma-se ${\displaystyle \tau }$ situando-se no meio plano superior. Então, ${\displaystyle g_{2}(\tau )=g_{2}(1,\omega _{2}/\omega _{1})}$ e ${\displaystyle g_{3}(\tau )=g_{3}(1,\omega _{2}/\omega _{1})}$.

A série de Fourier para ${\displaystyle g_{2}}$ e ${\displaystyle g_{3}}$ pode ser escrita em termos do quadrado da nome ${\displaystyle q=\exp(i\pi \tau )}$ como

${\displaystyle g_{2}(\tau )={\frac {4\pi ^{4}}{3}}\left[1+240\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{3}(k)q^{2k}\right]}$

e

${\displaystyle g_{3}(\tau )={\frac {8\pi ^{6}}{27}}\left[1-504\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{5}(k)q^{2k}\right]}$

onde ${\displaystyle \sigma _{a}(k)}$ é a função divisor. Esta fórmula pode ser reescrita em termos de série de Lambert.

Os invariantes podem ser expressos em termos de funções teta de Jacobi. Este método é muito conveniente para cálculo numérico: as funções teta convergem muito rapidamente. Na notação de Abramowitz e Stegun, mas notando os semiperíodos primitivos por ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}$, os invariantes satisfazem

${\displaystyle g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})={\frac {\pi ^{4}}{12\omega _{1}^{4}}}\left(\theta _{2}(0,q)^{8}-\theta _{3}(0,q)^{4}\theta _{2}(0,q)^{4}+\theta _{3}(0,q)^{8}\right)}$

e

${\displaystyle g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})={\frac {\pi ^{6}}{(2\omega _{1})^{6}}}\left[{\frac {8}{27}}\left(\theta _{2}(0,q)^{12}+\theta _{3}(0,q)^{12}\right)\right.}$

${\displaystyle \left.-{\frac {4}{9}}\left(\theta _{2}(0,q)^{4}+\theta _{3}(0,q)^{4}\right)\cdot \theta _{2}(0,q)^{4}\theta _{3}(0,q)^{4}\right]}$

onde ${\displaystyle \tau =\omega _{2}/\omega _{1}}$ é o razão de meio período e ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$ é o nome.

Casos especiais

Se os invariantes são ${\displaystyle g_{2}=0}$, ${\displaystyle g_{3}=1}$, então isto é conhecido como o caso equianarmônico; ${\displaystyle g_{2}=1}$, ${\displaystyle g_{3}=0}$ é o caso lemniscática.

Equação diferencial

Com esta notação, a função ${\displaystyle \wp }$ satisfaz a seguinte equação diferencial:

${\displaystyle [\wp '(z)]^{2}=4[\wp (z)]^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},}$

onde a dependência em ${\displaystyle \omega _{1}}$ e ${\displaystyle \omega _{2}}$ é suprimida.

Equação integral

A função elíptica de Weierstrass pode ser dada como a inversa de uma integral elíptica.

Fazendo-se

${\displaystyle u=\int _{y}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}.}$

Aqui, g₂ e g₃ são tomados como constantes. Então tem-se

${\displaystyle y=\wp (u).}$

O acima segue-se diretamente por integração da equação diferencial.

Discriminante modular

O discriminante modular ${\displaystyle \Delta }$ é definido como

${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.}$

Isto é estudado na forma adequada, como uma forma parabólica, na teoria da forma modular (isto é, como uma função do retículo do período).

Note-se que ${\displaystyle \Delta =(2\pi )^{12}\eta ^{24}}$ onde ${\displaystyle \eta }$ é a função eta de Dedekind.

A presença do 24 pode ser entendida pela conexão com outras ocorrências, como na função eta e no retículo Leech.

O discriminante é uma forma modular de peso 12. Isto é, sob a ação de grupo modular, transforma-se como

${\displaystyle \Delta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\left(c\tau +d\right)^{12}\Delta (\tau )}$

com τ sendo a razão de meio período, e a,b,c e d sendo inteiros, com ad − bc = 1.

As constantes e₁, e₂ e e₃

Considerando-se a equação polinomial cúbica ${\displaystyle 4t^{3}-g_{2}t-g_{3}=0}$ com raízes ${\displaystyle e_{1}}$, ${\displaystyle e_{2}}$, e ${\displaystyle e_{3}}$. Se o discriminante ${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}$ não é zero, nem duas destas raízes são igauis. Já que o termo quadrático desta polinomial cúbica é zero, as raízes são relacionadas pela equação

${\displaystyle e_{1}+e_{2}+e_{3}=0.}$

Os coeficientes lineare e constante (g₂ and g₃, respectivamente) são relacionados às raízes pelas equações^[1]

${\displaystyle g_{2}=-4\left(e_{1}e_{2}+e_{1}e_{3}+e_{2}e_{3}\right)=2\left(e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}\right)}$

${\displaystyle g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}.}$

No caso de invariantes reais, o sinal de ${\displaystyle \Delta }$ determina a natureza das raízes. Se ${\displaystyle \Delta >0}$, todas as três são reais e é convencional nomeá-las então ${\displaystyle e_{1}>e_{2}>e_{3}}$. Se ${\displaystyle \Delta <0}$, é convencional escrever-se ${\displaystyle e_{1}=-\alpha +\beta i}$ (onde ${\displaystyle \alpha \geq 0}$, ${\displaystyle \beta >0}$), onde ${\displaystyle e_{3}={\overline {e_{1}}}}$ e ${\displaystyle e_{2}}$ é real e não negativa.

Os meio períodos ω₁ e ω₂ da função elíptica de Weierstrass são relacionados às raízes

${\displaystyle \wp (\omega _{1})=e_{1}\qquad \wp (\omega _{2})=e_{2}\qquad \wp (\omega _{3})=e_{3}}$

onde ${\displaystyle \omega _{3}=-(\omega _{1}+\omega _{2})}$. Desde que a derivada da função elíptica de Weierstrass iguala-se the above polinomial cúbico do valor da função, ${\displaystyle \wp '(\omega _{i})=0}$ para ${\displaystyle i=1,2,3}$; se o valor da função iguala-se a raiz do polinômio, a derivada é zero.

Se ${\displaystyle g_{2}}$ e ${\displaystyle g_{3}}$ são reais e ${\displaystyle \Delta >0}$, a ${\displaystyle e_{i}}$ são todos reais, e ${\displaystyle \wp ()}$ é real sobre o perímetro do retângulo com vértices ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle \omega _{3}}$, ${\displaystyle \omega _{1}+\omega _{3}}$, e ${\displaystyle \omega _{1}}$. Se as raízes são ordenadas como above (${\displaystyle e_{1}>e_{2}>e_{3}}$), então o primeiro meio período é completamente real

${\displaystyle \omega _{1}=\int _{e_{1}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}}}$

considerando-se que o terceiro meio período é completamente imaginário

${\displaystyle \omega _{3}=i\int _{-e_{3}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}}.}$

Teoremas de adição

As funções elípticas de Weierstrass tem diversas propriedades que podem ser provadas:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}\wp (z)&\wp '(z)&1\\\wp (y)&\wp '(y)&1\\\wp (z+y)&-\wp '(z+y)&1\end{bmatrix}}=0}$

(uma versão simétrica seria

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}\wp (u)&\wp '(u)&1\\\wp (v)&\wp '(v)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\end{bmatrix}}=0}$

Onde ${\displaystyle u+v+w=0}$).

Além disso

${\displaystyle \wp (z+y)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp '(z)-\wp '(y)}{\wp (z)-\wp (y)}}\right\}^{2}-\wp (z)-\wp (y).}$

e a fórmula da duplicação

${\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right\}^{2}-2\wp (z),}$

exceto ${\displaystyle 2z}$ que é um período.

O caso com 1 um meio período básico

Se ${\displaystyle \omega _{1}=1}$, muito da teoria acima torna-se mais simples; é então convencional escrever-se ${\displaystyle \tau }$ para ${\displaystyle \omega _{2}}$. Para um τ fixo no meio plano superior, então a parte imaginária de τ é positiva, nós definimos a função Weierstrass ${\displaystyle \wp }$ por

${\displaystyle \wp (z;\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n^{2}+m^{2}\neq 0}{1 \over (z-n-m\tau )^{2}}-{1 \over (n+m\tau )^{2}}.}$

A soma estende-se sobre o retículo {n+mτ : n e m in Z} com a origem omitida.

Aqui consideramos τ como fixo e ${\displaystyle \wp }$ como uma função de ${\displaystyle z}$; fixando ${\displaystyle z}$ e deixando τ variar a condução dentro da área das funções elípticas modulares.

Teoria geral

${\displaystyle \wp }$ é uma função meromorfa no plano complexo com um duplo polo a cada ponto do retículo. É duplamente periódico com os períodos 1 e τ; isto significa que ${\displaystyle \wp }$ satisfaz

${\displaystyle \wp (z+1)=\wp (z+\tau )=\wp (z)}$

A soma acima é homogênea de grau menos dois, e se ${\displaystyle c}$ é qualquer número complexo não zero,

${\displaystyle \wp (cz;c\tau )=\wp (z;\tau )/c^{2}}$

dos quais nós podemos definir a função Weierstrass ${\displaystyle \wp }$ para qualquer par de períodos. Nós também podemos tomar a derivada (evidentemente, em relação a z) e obter uma função algebricamente relacionada a ${\displaystyle \wp }$ por

${\displaystyle \wp '^{2}=\wp ^{3}-g_{2}\wp -g_{3}}$

onde ${\displaystyle g_{2}}$ and ${\displaystyle g_{3}}$ depende somente de τ, sendo forma modular. A equação

${\displaystyle Y^{2}=X^{3}-g_{2}X-g_{3}}$

define uma curva elíptica, e nós vemos que ${\displaystyle (\wp ,\wp ')}$ é uma parametrização desta curva.

A totalidade das funções meromorfas duplamente periódicas com dados períodos define uma função corpo algébrico, associado a esta curva.

Podemos mostrar que este corpo é

${\displaystyle \mathbb {C} (\wp ,\wp '),}$

então todas estas funções são funções racionais na função Weierstrass e sua derivada.

Nós também podemos inserir um paralelograma de período único em um toro, ou superfície de Riemann em forma de "donut" , e tendo as funções elípticas associadas a um dado par de períodos como sendo funções definidas sobre esta superfície de Riemann.

As raízes ${\displaystyle e_{1}}$, ${\displaystyle e_{2}}$, e ${\displaystyle e_{3}}$ da equação ${\displaystyle X^{3}-g_{2}X-g_{3}}$ dependem de τ e podem ser expressas em termos de funções teta; nós temos

${\displaystyle e_{1}(\tau )={\pi ^{2} \over {3}}(\vartheta ^{4}(0;\tau )+\vartheta _{01}^{4}(0;\tau )),}$

${\displaystyle e_{2}(\tau )=-{\pi ^{2} \over {3}}(\vartheta ^{4}(0;\tau )+\vartheta _{10}^{4}(0;\tau )),}$

${\displaystyle e_{3}(\tau )={\pi ^{2} \over {3}}(\vartheta _{10}^{4}(0;\tau )-\vartheta _{01}^{4}(0;\tau )).}$

Dado que ${\displaystyle g_{2}=-4(e_{1}e_{2}+e_{2}e_{3}+e_{3}e_{1})}$ e ${\displaystyle g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}}$ nós temos estes também em termos de funções teta.

Podemos também expressar ${\displaystyle \wp }$ em termos de funções theta; porque estas convergem muito rapidamente, este é um meio mais rápido de cálculo ${\displaystyle \wp }$ que as séries que usamos para definí-las.

${\displaystyle \wp (z;\tau )=\pi ^{2}\vartheta ^{2}(0;\tau )\vartheta _{10}^{2}(0;\tau ){\vartheta _{01}^{2}(z;\tau ) \over \vartheta _{11}^{2}(z;\tau )}+e_{2}(\tau ).}$

A função ${\displaystyle \wp }$ tem dois zeros (módulos de períodos) e a função ${\displaystyle \wp '}$ tem três. Os zeros de ${\displaystyle \wp '}$ são fáceis de serem encontrados: dado que ${\displaystyle \wp '}$ é uma função ímpar devem estar em pontos de meio período. Por outro lado é muito difícil expressar os zeros de ${\displaystyle \wp }$ por forma fechada, exceto para valores especiais do módulo (e.g. quando o retículo do período é inteiro de Gauss). Uma expressão foi encontrada por Zagier e Eichler.^[2]

A teoria de Weierstrass também inclui a função zeta de Weierstrass, a qual é uma integral indefinida de ${\displaystyle \wp }$ e não duplamente periódica, e uma função teta chamada função sigma de Weierstrass, da qual sua função zeta é a derivada logarítmica. A função sigma tem zeros em todos os pontos do período (somente), e pode ser expressa em termos de funções de Jacobi. Isto dá um meio de conversão entre notações de Weierstrass e Jacobi.

A função sigma de Weierstrass é uma função inteira; desempenha o papel de função 'típica' na teoria de funções inteiras aleatórias de J. E. Littlewood.

Relação com as funções elípticas de Jacobi

Para trabalho numérico, é frequentemente conveniente calcular a função elíptica de Weierstrass em termos das funções elípticas de Jacobi. As relações básicas são^[3]

${\displaystyle \wp (z)=e_{3}+{\frac {e_{1}-e_{3}}{\mathrm {sn} ^{2}w}}=e_{2}+\left(e_{1}-e_{3}\right){\frac {\mathrm {dn} ^{2}w}{\mathrm {sn} ^{2}w}}=e_{1}+\left(e_{1}-e_{3}\right){\frac {\mathrm {cn} ^{2}w}{\mathrm {sn} ^{2}w}}}$

onde e_1-3 são as três raízes descritas acima e onde o módulo k das funções de Jacobi iguala-se

${\displaystyle k\equiv {\sqrt {\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}}$

e seu argumento w iguala-se

${\displaystyle w\equiv z{\sqrt {e_{1}-e_{3}}}.}$

Referências

• Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, traduzido para o inglês como AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (See chapter 1.)
• K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
• Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern analysis, Cambridge University Press, 1952, capítulos 20 e 21
• Konrad Knopp, Funktionentheorie II (1947), Dover; Republicado em traduçã para o inglês como Theory of Functions (1996), Dover ISBN 0-486-69219-1
• Abramowitz and Stegun; Handbook of Mathematical Functions, capítulo 18

Ligações externas

• «Weierstrass Elliptic Function» (em inglês). - Funções elípticas de Weierstrass no MathWorld - 
• «Funções elípticas, página de análise complexa de Hans Lundmark» 

• Portal da matemática