Fibrado vetorial

Em topologia diferencial, um fibrado vetorial é um espaço topológico que é uma associação de um espaço vetorial a cada ponto de outro espaço topológico (mais simples), satisfazendo determinadas propriedades que ligam a estrutura dos espaços topológicos aos espaços vetoriais.

Ao espaço topológico mais simples chama-se base, a cada espaço vectorial uma fibra e à união de todas as fibras o espaço total do fibrado.

Essencialmente, a propriedade para ligar a base às fibras é que, localmente, o fibrado vectorial seja muito parecido com um cilindro, ou seja, para cada ponto x do espaço topológico exista uma vizinhança U de x no espaço topológico tal que U x o espaço vetorial seja homeomorfo a um aberto do fibrado.

Definição

Um fibrado vectorial se caracteriza por:

• Um espaço topológico E (chamado espaço total, por abuso de linguagem, às vezes chamado de o próprio fibrado vetorial)
• Um espaço topológico X (chamado de base)
• Uma projeção contínua ${\displaystyle \pi :E\to X\,}$
• Para todo ${\displaystyle x\in X\,}$, uma estrutura de espaço vetorial em ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)\subseteq E\,}$

Satisfazendo o axioma:

• Para todo ${\displaystyle x\in X\,}$, existe uma vizinhança U de x, um número natural k e um homeomorfismo ${\displaystyle \phi :U\times \mathbb {R} ^{k}\to \pi ^{-1}(U)\,}$ em que:
  • ${\displaystyle \pi (\phi (x,v))=x\,}$ para todo vetor v de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\,}$
  • a função ${\displaystyle v\to \phi (x,v)\,}$ é um isomorfismo entre os espaços vetoriais ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\,}$ e ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)\,}$

Exemplos

• Se E é um espaço vetorial e X é um espaço topológico, então o produto E×X é um fibrado vetorial sobre X.
• O fibrado tangente de uma variedade diferenciável é um fibrado vetorial sobre essa variedade.

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