Equilíbrio de motores de combustão interna

Em um motor a pistão, as massas em movimento alternativo produzem forças de inércia que quando não adequadamente tratadas provocam vibrações.

Cinemática de um Sistema Biela Manivela

Definições

l = comprimento da biela
r = raio do eixo de manivelas (metade do curso)
Θ = ângulo da manivela em relação a linha de centro do cilindro
x = Posição do pistão
v = Velocidade do pistão
a = Aceleração do pistão
ω = Velocidade angular do eixo de manivelas

Descrição

Conforme o eixo de manivelas gira, o pistão P se desloca ao longo do eixo do centro do cilindro executando um movimento alternativo. A partir do Ponto Morto Superior (PMS), o pistão acelera até atingir a velocidade máxima, quando então começa a desacelerar até atingir o Ponto Morto Inferior (PMI), quando então inverte a trajetória.

Velocidade Angular

A velocidade angular (rad/s) pode ser calculada a partir do número de rotações por minuto (RPM):

${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi \cdot RPM}{60}}}$

Posição

A aplicação da lei dos cossenos ao diagrama fornece a posição do pistão:

${\displaystyle l^{2}=r^{2}+x^{2}-2rx\cos \theta }$

${\displaystyle x^{2}-2xr\cos \theta +(r^{2}-l^{2})=0}$

Fazendo

${\displaystyle y=r\cos \theta }$

${\displaystyle z=(r^{2}-l^{2})}$

temos:

${\displaystyle x^{2}-2xy+z=0}$

Resolvendo pela formula quadrática e substituindo de volta y e z, temos:

${\displaystyle x=r\cos \theta +{\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta }}}$

expressando em termos da velocidade angular, temos:

${\displaystyle \theta =\omega t}$

${\displaystyle x=r\cos {(\omega t)}+{\sqrt {l^{2}-r^{2}\sin ^{2}(\omega t)}}=r\left[\cos {(\omega t)}+{\sqrt {\left({\frac {l}{r}}\right)^{2}-\sin ^{2}(\omega t)}}\right]}$

Velocidade

A primeira derivada da equação da posição fornece a velocidade do pistão:

${\displaystyle v={\frac {dx}{dt}}=-r\omega \sin {(\omega t)}\left[1+{\frac {\cos {(\omega t)}}{\sqrt {\left({\frac {l}{r}}\right)^{2}-\sin ^{2}{(\omega t)}}}}\right]}$

Na grande maioria dos casos ${\displaystyle r\leq {\frac {l}{3}}}$^[1], fazendo com que ${\displaystyle r^{2}\sin ^{2}{(\omega t)}}$ seja muito pequeno, podendo ser ignorado:

${\displaystyle v=-r\omega \sin {(\omega t)}-{\frac {r^{2}\omega \sin {(2\omega t)}}{2l}}}$

Aceleração

A derivada da velocidade fornece a aceleração do pistão:

${\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}=-r\omega ^{2}\left\{\cos(\omega t)+{\frac {\cos(2\omega t)}{\left[\left({\frac {l}{r}}\right)^{2}-sin^{2}(\omega t)\right]^{1/2}}}+{\frac {\sin ^{2}(\omega t)cos^{2}(\omega t)}{\left[\left({\frac {l}{r}}\right)^{2}-sin^{2}(\omega t)\right]^{3/2}}}\right\}}$

Para ${\displaystyle r\leq {\frac {l}{3}}}$, (e considerando ${\displaystyle l>>r\sin {(\omega t)}}$), a derivada fica:

${\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}=-r\omega ^{2}\cos {(\omega t)}-{\frac {r^{2}\omega ^{2}\cos {(2\omega t)}}{l}}}$

Em termos do ângulo da manivela temos:

${\displaystyle a=-r\omega ^{2}\cos {\theta }-{\frac {r^{2}\omega ^{2}\cos {(2\theta )}}{l}}}$

Rearranjando:

${\displaystyle a=-r\omega ^{2}\left[\cos {\theta }+{\frac {r}{l}}\cos {(2\theta )}\right]}$

Dinâmica de um Motor com Cilindros em Linha

As massas em movimento alternativo produzem forças de inércia e binários, que se não forem equilibrados, irão gerar vibrações
.

Forças de Inércia

Se m é a massa das partes em movimento alternativo (pistão e parte da biela), a força de inércia é igual a:

${\displaystyle F=mr\omega ^{2}\left[\cos {(\theta )}+{\frac {r}{l}}\cos {(2\theta )}\right]}$

${\displaystyle F=F_{p}+F_{s}}$

onde
${\displaystyle F_{p}=mr\omega ^{2}\cos {(\theta )}}$ é a força primeira ordem, com frequência igual à rotação do motor e ${\displaystyle F_{s}=mr\omega ^{2}{\frac {r}{l}}\cos {(2\theta )}}$ é a força de segunda ordem, com frequência igual a 2 vezes a rotação do motor.

Equilíbrio de Motores Multicilíndricos em Linha

Em um motor de n cilindros em linha com ignição igualmente espaçada, o intervalo ${\displaystyle \phi }$ entre as explosões é igual a:

${\displaystyle \phi ={\frac {360}{n}}}$ em motores de 2 tempos e

${\displaystyle \phi ={\frac {720}{n}}}$ em motores de 4 tempos.

A força de inércia de cada pistão é dada por:

${\displaystyle F_{1}=mr\omega ^{2}\left[\cos {(\theta +\phi _{1})}+{\frac {r}{l}}\cos {2(\theta +\phi _{1})}\right]}$

${\displaystyle F_{2}=mr\omega ^{2}\left[\cos {(\theta +\phi _{2})}+{\frac {r}{l}}\cos {2(\theta +\phi _{2})}\right]}$

e assim por adiante.

${\displaystyle F_{i}=mr\omega ^{2}\left[\cos {(\theta +\phi _{i})}+{\frac {r}{l}}\cos {2(\theta +\phi _{i})}\right]}$

A soma total das forças de inércia é então igual a:

${\displaystyle F=\sum _{i=1}^{n}F_{i}=mr\omega ^{2}\sum _{i=1}^{n}\left[\cos {(\theta +\phi _{i})}+{\frac {r}{l}}\cos {2(\theta +\phi _{i})}\right]}$

mas

${\displaystyle \cos(\theta +\phi _{i})=\cos {\theta }\cdot \cos {\phi _{i}}-\sin {\theta }\cdot \sin {\phi _{i}}}$

Substituindo temos:

${\displaystyle {F=m\omega ^{2}r\left[\cos \theta \sum _{i=1}^{n}\cos \phi _{i}-\sin \theta \sum _{i=1}^{n}\sin \phi _{i}+{\frac {r}{l}}\cos {(2\theta )}\sum _{i=1}^{n}\cos {(2\phi _{i})}-{\frac {r}{l}}\sin {(2\theta )}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {sen} {(2\phi _{i})}\right]}}$

Condições de Equilíbrio das Forças de Inércia

Equilíbrio das Forças de Primeira Ordem

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\cos \phi _{i}=0}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sin \phi _{i}=0}$

Equilíbrio das Forças de Segunda Ordem

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\cos(2\phi _{i})=0}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sin(2\phi _{i})=0}$

Condições de Equilíbrio dos Binários

O equilíbrio as forças de inércia não garante o motor não irá vibrar em decorrência da atuação de binários. Tomando como referência o cilindro número 1 e considerando d como a distancia entre os cilindros temos:

${\displaystyle B_{1}=F_{1}\cdot d_{1}}$

${\displaystyle B_{2}=F_{2}\cdot d_{2}}$

${\displaystyle B_{3}=F_{3}\cdot d_{3}}$

e assim por diante...

${\displaystyle B_{i}=F_{i}\cdot d_{i}}$

Se fizermos B igual a soma dos binários temos:

${\displaystyle B=\sum _{i=1}^{n}F_{i}d_{i}}$

${\displaystyle {\color {black}B=m\omega ^{2}r\color {red}\left[\cos \theta \sum _{i=1}^{n}d_{i}\cos \phi _{i}-\sin \theta \sum _{i=1}^{n}d_{i}\sin \phi _{i}+\color {blue}{\frac {r}{l}}\cos(2\theta )\sum _{i=1}^{n}d_{i}\cos(2\phi _{i})-{\frac {r}{l}}\sin(2\theta )\sum _{i=1}^{n}d_{i}\sin(2\phi _{i})\right]}}$

com a parte em vermelho representando os binários de primeira ordem e a parte em azul os de segunda ordem.

As condições de equilíbrio dos binários podem então ser escrita como:

Binários de primeira ordem

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}\cos \phi _{i}=0}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}\sin \phi _{i}=0}$

Binários de segunda ordem

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}\cos(2\phi _{i})=0}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}\sin(2\phi _{i})=0}$

Efeitos sobre o motor

Dependendo da existência de forças de inércia ou de binários teremos os seguintes efeitos sobre o motor:

${\displaystyle F=0\land M=0\Rightarrow }$ Completamente equilibrado

${\displaystyle F\neq 0\land M=0\Rightarrow }$ Desequilíbrio causado por força de inércia

${\displaystyle F=0\land M\neq 0\Rightarrow }$ Desequilíbrio causado por binário

${\displaystyle F\neq 0\land M\neq 0\Rightarrow }$ Desequilíbrio causado por força de inércia. A distancia ${\displaystyle L}$ do ponto de atuação da força em relação ao plano de referência é dada por ${\displaystyle L={\frac {B}{F}}}$

Exemplo: Motor de três cilindros em linha - quatro tempos

${\displaystyle \phi ={\frac {720}{3}}=240^{0}}$

Ordem de ignição: 1,3,2

Tabela de Equilíbrio

Tabela de equilibrio

Φ	Inércia 1a ordem cosΦ	Inércia 1a ordem senΦ	2Φ	Inércia 2a ordem cos2Φ	Inércia 2a ordem sen2Φ	d	Binário 1a ordem dcosΦ	Binário 1a ordem dsenΦ	Binário 2a ordem dcos2Φ	Binário 2a ordem dsen2Φ
0	1	0	0	1	0	0	0	0	0	0
240	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	480	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	2d	${\displaystyle -d}$	${\displaystyle -d{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -d}$	${\displaystyle d{\sqrt {3}}}$
120	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	240	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	d	${\displaystyle -{\frac {d}{2}}}$	${\displaystyle d{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {d}{2}}}$	${\displaystyle -d{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$
${\displaystyle \sum }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$		${\displaystyle -{\frac {3}{2}}d}$	${\displaystyle -d{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {3}{2}}d}$	${\displaystyle d{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

Força de inércia de primeira ordem: equilibrado
Força de inércia de segunda ordem: equilibrado
Binário de primeira ordem: desequilibrado
Binário de segunda ordem: desequilibrado

Binário de primeira ordem

${\displaystyle B_{p}=m\omega ^{2}r\left[\cos \theta \sum _{i=1}^{n}d_{i}\cos \phi _{i}-\sin \theta \sum _{i=1}^{n}d_{i}\sin \phi _{i}\right]}$

${\displaystyle B_{p}=m\omega ^{2}r\left[-{\frac {3d}{2}}\cos \theta +{\frac {d{\sqrt {3}}}{2}}\sin \theta \right]}$

${\displaystyle B_{p}=m\omega ^{2}r{\frac {d}{2}}\left[-3\cos \theta +{\sqrt {3}}\sin \theta \right]}$

Sendo

${\displaystyle acos\alpha +bsen\alpha ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}sen(\alpha +\phi )}$

${\displaystyle a\cos \alpha -b\sin \alpha =-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(\alpha -\phi )}$

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {a}{b}}}$

Temos

${\displaystyle -3\cos \theta +{\sqrt {3}}\sin \theta ={\sqrt {9+3}}\sin(\alpha +\phi )={\sqrt {4\cdot 3}}\sin(\alpha +\phi )=2{\sqrt {3}}\sin(\alpha +\phi )}$

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {-3}{\sqrt {3}}}={\frac {-3{\sqrt {3}}}{3}}=-{\sqrt {3}}}$

Portanto

${\displaystyle \phi =-60}$

e o binário de primeira ordem é igual a:

${\displaystyle B_{p}={\sqrt {3}}m\omega ^{2}rd\sin(\theta -60)}$

O valor máximo do binário ocorrerá quando ${\displaystyle \sin(\theta -60)=1}$,ou seja, quando ${\displaystyle \theta =150}$ graus.

Binário de segunda ordem ordem

${\displaystyle B_{s}=m\omega ^{2}r\left[{\frac {r}{l}}\cos(2\theta )\sum _{i=1}^{n}d_{i}\cos(2\phi _{i})-{\frac {r}{l}}\sin(2\theta )\sum _{i=1}^{n}d_{i}\sin 2\phi _{i}\right]}$

${\displaystyle B_{s}={\frac {r}{l}}m\omega ^{2}r\left[-{\frac {3d}{2}}\cos(2\theta )-{\frac {d{\sqrt {3}}}{2}}\sin 2\theta \right]}$

${\displaystyle B_{s}={\frac {r}{l}}m\omega ^{2}r{\frac {d}{2}}\left[-3\cos(2\theta )-{\sqrt {3}}\sin 2\theta \right]}$

${\displaystyle B_{s}=-{\sqrt {3}}{\frac {r}{l}}m\omega ^{2}rd\sin(2\theta +60)}$

Exemplo: Motor de quatro cilindros em linha - quatro tempos

${\displaystyle \phi ={\frac {720}{4}}=180^{0}}$

Ordem de ignição: 1,3,4,2

Tabela de Equilíbrio

Tabela de equilibrio

Φ	Inércia 1a ordem cosΦ	Inércia 1a ordem senΦ	2Φ	Inércia 2a ordem cos2Φ	Inércia 2a ordem sen2Φ	d	Binário 1a ordem dcosΦ	Binário 1a ordem dsenΦ	Binário 2a ordem dcos2Φ	Binário 2a ordem dsen2Φ
0	1	0	0	1	0	0	0	0	0	0
180	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	360	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	2d	${\displaystyle -2d}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2d}$	${\displaystyle 0}$
0	1	0	0	1	0	3d	3d	0	3d	0
180	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	360	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	d	${\displaystyle -d}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle d}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \sum }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$		${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 0}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 6d}$	${\displaystyle 0}$

Força de inércia de segunda ordem

${\displaystyle F=m\omega ^{2}r\left[{\frac {r}{l}}\cos(2\theta )\sum _{i=1}^{n}\cos(2\phi _{i})-{\frac {r}{l}}\sin(2\theta )\sum _{i=1}^{n}\sin(2\phi _{i})\right]}$

Substituindo temos:

${\displaystyle F=m\omega ^{2}r\left[4{\frac {r}{l}}\cos(2\theta )\right]}$

${\displaystyle F=4{\frac {r}{l}}m\omega ^{2}r\cos(2\theta )}$

Como

${\displaystyle F\neq 0\land M\neq 0\Rightarrow }$ Desequilíbrio causado por força de inércia. A distancia ${\displaystyle L}$ do ponto de atuação da força em relação ao cilindro numero 1 é dada por ${\displaystyle L={\frac {6d}{4}}=1,5d}$

Referências

Ver também

• Motor de combustão interna