Eliminação da disjunção

Para o teorema da logica proposicional que expressa a eliminação da disjunção, veja Análise de casos.

Na lógica proposicional, eliminação da disjunção^[1][2][3] (as vezes chamado prova por casos ou análise de casos), é a forma de argumento válido e regra de inferência que permite a eliminação de um argumento disjunctivo de uma prova lógica. É a inferência que a afirmação ${\displaystyle P}$ implica a afirmação ${\displaystyle Q}$ e a afirmação ${\displaystyle R}$ também implica ${\displaystyle Q}$, assim se ${\displaystyle P}$ ou ${\displaystyle R}$ são verdadeiras, então ${\displaystyle Q}$ tem que ser verdadeiro. A razão é simples: desde que pelo menos uma das afirmações P e R sejam verdadeiras, e desde que pelo menos uma delas seja suficiente para confirmar Q, então Q certamente será correto.

Se estou dentro, eu tenho minha carteira comigo.

Se estou fora, tenho minha carteira comigo.

É verdade que eu estou dentro ou fora.

Portanto, eu tenho minha carteira comigo.

Isto é, a regra pode ser definida como:

${\displaystyle {\frac {P\to Q,R\to Q,P\lor R}{\therefore Q}}}$

Onde a regra é que toda vez que instâncias de "${\displaystyle P\to Q}$", e "${\displaystyle R\to Q}$" e "${\displaystyle P\lor R}$" aparecem em uma linha da prova, "${\displaystyle Q}$" pode ser colocado na linha subsequente.

Notação formal

A regra da Eliminação da disjunção pode ser escrita na notação de sequentes:

${\displaystyle (P\to Q),(R\to Q),(P\lor R)\vdash Q}$

Onde ${\displaystyle \vdash }$ é o símbolo metalógico significando que ${\displaystyle Q}$ é uma consequência sintática de ${\displaystyle P\to Q}$, e ${\displaystyle R\to Q}$ e ${\displaystyle P\lor R}$ em algum sistema lógico.;

e expressado como uma tautologia funcional verdadeira ou teorema da lógica proposicional:

${\displaystyle (((P\to Q)\land (R\to Q))\land (P\lor R))\to Q}$

Onde ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$, e ${\displaystyle R}$ são proposições expressas em algum Sistema formal.

Veja também

• Disjunção
• Argumento na alternativa
• Forma normal disjuntiva

Referencias