Na matemática, a desigualdade de martingale de Doob é um resultado no estudo dos processos estocásticos. Esta dá um limite sobre a probabilidade de que um processo estocástico exceda qualquer dado valor sobre um dado intervalo de tempo. Como o nome sugere, o resultado é geralmente dado no caso em que o processo é um martingale negativo, mas o resultado também é válido para submartingales não negativos.
A desigualdade recebe este nome em homenagem ao matemático norte-americano Joseph Leo Doob.[1]
Afirmação da desigualdade
Considere
um submartingale que assume valores reais não negativos, seja em tempo discreto, seja em tempo contínuo. Isto é, para todos os tempos
e
com
:
![{\displaystyle X_{s}\leq \mathbf {E} \left[X_{t}{\big |}{\mathcal {F}}_{s}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89a876a0442f9483a53ffdf5948f6154a1422168)
Para um submartingale de tempo contínuo, assume-se posteriormente que o processo é càdlàg. Então, para qualquer constante
,
![{\displaystyle \mathbf {P} \left[\sup _{0\leq t\leq T}X_{t}\geq C\right]\leq {\frac {\mathbf {E} \left[X_{T}\right]}{C}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ce53e4f52dc5b71d7ee3f217b0609d77e172bfa)
Acima, como é convencional,
denota a medida de probabilidade no espaço amostral
do processo estocástico:
![{\displaystyle X:[0,T]\times \Omega \to [0,+\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d73ca33eff3441beff5f462deb362a83a21b5ce)
e
denota o valor esperado com respeito à medida de probabilidade
, isto é, a integral
![{\displaystyle \mathbf {E} [X_{T}]=\int _{\Omega }X_{T}(\omega )\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/208d5adb41922003c9ffc4a6b3c93255ecf78331)
no sentido da integração de Lebesgue.
denota a sigma-álgebra gerada por todas as variáveis aleatórias
com
. A coleção de tais sigma-álgebras forma uma filtração do espaço de probabilidade.[2]
Desigualdades posteriores
Há desigualdades de (sub)martingale posteriores que também se devem a Doob. Com os mesmos pressupostos sobre
como acima, considere:
![{\displaystyle S_{t}=\sup _{0\leq s\leq t}X_{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3bda336c8800b17e915a19db9ed555f4de7c82f)
e, para
, considere:
![{\displaystyle \|X_{t}\|_{p}=\|X_{t}\|_{L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbf {P} )}=\left(\mathbf {E} \left[|X_{t}|^{p}\right]\right)^{\frac {1}{p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be89381028fc51987be4fc5e95aa95bddaf580a6)
Nesta notação, a desigualdade de Doob como afirmada acima lê:
![{\displaystyle \mathbf {P} \left[S_{T}\geq C\right]\leq {\frac {\|X_{T}\|_{1}}{C}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e13b13b236aa15553634c070946b0efeb293a279)
As seguintes desigualdade também se aplicam: para
,
![{\displaystyle \|S_{T}\|_{p}\leq {\frac {e}{e-1}}\left(1+\|X_{T}\log ^{+}X_{T}\|_{p}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cae4486aafd6b33353c51598bfcb3da1c31c0379)
e, para
,
[3]
Desigualdades relacionadas
A desigualdade de Doob para martingales de tempo discreto implica a desigualdade de Kolmogorov: se
for uma sequência de variáveis aleatórias independentes de valores reais, cada uma com média zero, fica claro que:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} \left[X_{1}+\dots +X_{n}+X_{n+1}{\big |}X_{1},\dots ,X_{n}\right]&=X_{1}+\dots +X_{n}+\mathbf {E} \left[X_{n+1}{\big |}X_{1},\dots ,X_{n}\right]\\&=X_{1}+\cdots +X_{n},\end{aligned}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/072ab0e85156cddf63dc21114f4afedb4f0d7c7f)
de modo que
é um martingale. Note que a desigualdade de Jensen implica que
é um submartingale não negativo se
for um martingale. Assim, assumindo
na desigualdade de martingale de Doob,
![{\displaystyle \mathbf {P} \left[\max _{1\leq i\leq n}\left|M_{i}\right|\geq \lambda \right]\leq {\frac {\mathbf {E} \left[M_{n}^{2}\right]}{\lambda ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aafd5fd7ecac3d9f62266b861506591decaeb973)
que é precisamente a afirmação da desigualdade de Kolmogorov.[3]
Aplicação no movimento browniano
Considere que
denota um movimento browniano unidimensional canônico. Então,
![{\displaystyle \mathbf {P} \left[\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right]\leq \exp \left(-{\frac {C^{2}}{2T}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d1dda3b8096f2b23c2c206baee9fc391df76271)
A prova é como segue: já que a função exponencial é monotonamente crescente, para qualquer
não negativo,
![{\displaystyle \left\{\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right\}=\left\{\sup _{0\leq t\leq T}\exp(\lambda B_{t})\geq \exp(\lambda C)\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cda1df25bd47c8a1d8e03dad2266551febf4f1a)
Pela desigualdade de Doob e, já que a exponencial do movimento browniano é um submartingale positivo,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} \left[\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right]&=\mathbf {P} \left[\sup _{0\leq t\leq T}\exp(\lambda B_{t})\geq \exp(\lambda C)\right]\\&\leq {\frac {\mathbf {E} \left[\exp(\lambda B_{T})\right]}{\exp(\lambda C)}}\\&=\exp \left({\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}T-\lambda C\right)&&\mathbf {E} \left[\exp(\lambda B_{t})\right]=\exp \left({\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}t\right)\end{aligned}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98229c7bae66a2c044cd02d959070378715a4187)
Já que o lado esquerdo não depende de
, escolhe-se
para minimizar o lado direito.
dá a desigualdade desejada.[4]
Referências
- ↑ Doob, Joseph L. (2001). «Elements of Martingale Theory». Springer. Classics in Mathematics (em inglês): 432–462. ISBN 9783540412069. doi:10.1007/978-3-642-56573-1_22
- ↑ Hazewinkel, Michiel (1994). «Martingale». Encyclopaedia of mathematics: an updated and annotated translation of the Soviet "Mathematical encyclopaedia". Dordrecht: Reidel. ISBN 9781556080104. OCLC 16755499
- ↑ a b Sun, Rongfeng. «Martingales» (PDF). National University of Singapore
- ↑ Revuz, Daniel; Yor, Marc (1999). Continuous martingales and Brownian motion 3 ed. Berlin: Springer. ISBN 3540643257. OCLC 40481166
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