Curva de Agnesi

Imagem ilustrando a construção da curva de Agnesi

Em matemática, a curva de Agnesi, atribuída a Maria Gaetana Agnesi, é uma curva estudada por Agnesi em 1748 no seu livro Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana. A curva tem a seguinte descrição:

Fixada uma circunferência, toma-se um ponto O nela. De qualquer outro ponto A da circunferência, traça-se a secante OA. Seja M o ponto diametralmente oposto a O. A intersecção entre a reta OA e a reta tangente à circunferência no ponto M é o ponto N. Por A, traça-se uma reta paralela a MN, e por N uma reta paralela a OM. Seja P a interseção entre essas duas retas. O caminho que P faz ao variarmos A é a chamada curva de Agnesi.

Equação

Animação da construção da curva de Agnesi

Dado o círculo com raio a {\displaystyle a} , considerando o ponto O na origem, a curva de Agnesi pode ser descrita pela seguinte equação:

y = 8 a 3 x 2 + 4 a 2 {\displaystyle y={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}}

Quando a = 1 / 2 {\displaystyle a=1/2} , a equação fica da seguinte forma:

y = 1 x 2 + 1 . {\displaystyle y={\frac {1}{x^{2}+1}}.}

Equações paramétricas

A equação paramétrica da curva, considerando o ângulo θ {\displaystyle \theta \,} entre OM e OA, é

x = 2 a tan ⁡ θ ,   y = 2 a cos 2 ⁡ θ . {\displaystyle x=2a\tan \theta ,\ y=2a\cos ^{2}\theta .\,}

ou ainda, no caso de θ {\displaystyle \theta \,} sendo o ângulo entre OA e o eixo x, a equação paramétrica fica:

x = 2 a cot ⁡ θ ,   y = 2 a sin 2 ⁡ θ . {\displaystyle x=2a\cot \theta ,\ y=2a\sin ^{2}\theta .\,}

Uma terceira parametrização, que utiliza apenas funções algébricas, consiste em:

{ x = 2 a t y = 2 a 1 + t 2 . {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x&=&2at\\y&=&{\frac {2a}{1+t^{2}}}.\end{matrix}}\right.}

Propriedades

  • A área entre a curva de Agnesi e sua assíntota ( y = 0 {\displaystyle y=0} ) é quatro vezes a área do círculo fixado, (ou seja, 4 π a 2 {\displaystyle 4\pi a^{2}} ). Particularmente, para a = 0 , 5 {\displaystyle a=0,5} , a área embaixo da curva é igual a π {\displaystyle \pi } .
  • O volume de revolução da curva em torno de sua assíntota é de 4 π 2 a 3 {\displaystyle 4\pi ^{2}a^{3}} .

História e nome da curva

A curva de Agnesi foi estudada por Pierre de Fermat em 1666, Guido Grandi em 1701, e por Maria Agnesi in 1748.

Em diversas línguas, a curva de Agnesi é chamada "Bruxa de Agnesi", devido a um erro de tradução. John Colson, professor de matemática em Cambridge, que havia aprendido italiano apenas para traduzir a obra de Agnesi para o inglês, ao invés de ler la versiera di Agnesi, que significa curva de Agnesi, leu l'avversiera di Agnesi, onde l'avversiera significa bruxa. Desde então, em muitas línguas a curva recebeu esse nome.


Referências

  • Weisstein, Eric W. «Witch of Agnesi» (em inglês). MathWorld 
  • "Witch of Agnesi" at MacTutor's Famous Curves Index
  • "Cubique d'Agnesi" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (em francês)
  • «MacTutor biography of Agnesi» 
  • John H. Lienhard (2002). «The Witch of Agnesi». The Engines of Our Ingenuity. Episódio 1741http://www.uh.edu/engines/epi1741.htm |transcriçãourl= missing title (ajuda). NPR. KUHF-FM Houston