Twierdzenie o wykresie domkniętym

Twierdzenie o wykresie domkniętym – jedno z podstawowych twierdzeń klasycznej analizy funkcjonalnej, charakteryzujące ciągłe przekształcenia liniowe między F-przestrzeniami, a więc w szczególności między przestrzeniami Banacha.

Twierdzenie

Niech X {\displaystyle X} oraz Y {\displaystyle Y} będą F-przestrzeniami. Jeżeli operator liniowy Λ : X → Y {\displaystyle \Lambda \colon X\to Y} ma domknięty wykres[1], to jest on ciągły.

Uwagi o dowodzie

Dowód twierdzenia o wykresie domkniętym można przeprowadzić w oparciu o inne ważne twierdzenie analizy funkcjonalnej – twierdzenie o operatorze odwrotnym. Główna idea tego dowodu polega na skonstruowaniu odwzorowania liniowego, ciągłego i odwracalnego, dla którego odwrotne byłoby wyjściowym odwzorowaniem.

Przypisy

  1. ↑ Tzn. zbiór { ( x , Λ x ) : x ∈ X } {\displaystyle \{(x,\Lambda x)\colon x\in X\}} jest zbiorem domkniętym w topologii Tichonowa przestrzeni X × Y . {\displaystyle X\times Y.}

Bibliografia

  • Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.