Przestrzeń Sierpińskiego

Przestrzeń Sierpińskiego – przykład przestrzeni topologicznej mającej dwa punkty, z których tylko jeden jest domknięty. Jest szczególnym przykładem przestrzeni Aleksandrowa

Konstrukcja

Niech ${\displaystyle a,b}$ będą dwoma różnymi punktami. Rodzina

${\displaystyle \tau =\left\{\{a,b\},\{a\},\varnothing \right\}}$

jest topologią w zbiorze ${\displaystyle F=\{a,b\}.}$ Przestrzeń topologiczna ${\displaystyle (F,\tau )}$ nazywana jest przestrzenią Sierpińskiego.

Własności

• Przestrzeń ${\displaystyle F}$ jest (z dokładnością do homeomorfizmu) jedyną przestrzenią topologiczną dwuelementową różną od przestrzeni dyskretnej i antydyskretnej.
• Przestrzeń ${\displaystyle F}$ spełnia aksjomat T₀ (najsłabszy z aksjomatów oddzielania), ale nie spełnia aksjomatu T₁.
• Każda T₀-przestrzeń wagi ${\displaystyle \kappa }$ jest homeomorficzna z pewną podprzestrzenią produktu ${\displaystyle \kappa }$ kopii przestrzeni Sierpińskiego ${\displaystyle F}$ (tzw. kostką Aleksandrowa wagi ${\displaystyle \kappa }$). Innymi słowy, jeśli ${\displaystyle \kappa }$ jest (nieskończoną) liczbą kardynalną, to kostka ${\displaystyle F^{\kappa }}$ jest przestrzenią uniwersalną dla klasy wszystkich T₀-przestrzeni^[1].
• Przestrzeń ${\displaystyle F}$ jest drogowo spójna, ale nie jest łukowo spójna.

• Kazimierz Alster zauważył, że przestrzeń Sierpińskiego jest obrazem uniwersalnym dla klasy wszystkich topologicznych przestrzeni spójnych.

Zobacz też

• przestrzeń Aleksandrowa
• skończona przestrzeń topologiczna

Przypisy

Bibliografia

• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: PWN, 1976, s. 115.
• Arthur Steen Lynn, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. New York: Springer-Verlag, 1978, s. 44–46.