Grupa Galileusza

Ten artykuł od 2018-03 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Transformacje Galileusza

${\displaystyle x^{i}\rightarrow {x'}^{i}=R_{j}^{i}x^{j}+v^{i}t+x_{0}^{i},}$

${\displaystyle t\rightarrow t'=t+t_{0}}$

zachowują strukturę czasoprzestrzeni Galileusza, tworzą one grupę Galileusza. Transformacje te są parametryzowane przez macierz obrotu ${\displaystyle R_{j}^{i},}$ prędkość ${\displaystyle v^{i},}$ translację w przestrzeni ${\displaystyle x_{0}^{i}}$ i czasie ${\displaystyle t_{0}.}$

Macierze obrotu same tworzą grupę O(3), spełniają warunek zachowania długości wektora przy obrotach

${\displaystyle x^{i}\rightarrow {x'}^{i}=R_{j}^{i}x^{j},}$

${\displaystyle \sum _{i}^{3}(x^{i})^{2}=\sum _{i}^{3}({x'}^{i})^{2}.}$

Daje to warunek

${\displaystyle R^{T}R=I,}$

gdzie macierz transponowana ${\displaystyle (R^{T})_{j}^{i}=R_{i}^{j}.}$

Ponieważ macierz odwrotna spełnia ${\displaystyle R^{-1}R=I,}$ to dla grupy obrotów ${\displaystyle R^{-1}=R^{T}.}$ W zbiorze macierzy ortogonalnych SO(3) istnieje element neutralny (macierz jednostkowa I), element odwrotny ${\displaystyle R^{-1}R=I}$ i mnożenie dwóch macierzy ortogonalnych jest macierzą ortogonalną. Zbiór macierzy ortogonalnych tworzy grupę. Dodatkowy warunek ${\displaystyle \det(R)=1}$ definiuje podgrupę obrotów SO(3). Element grupy R można parametryzować w sposób ciągły przez trzy parametry (wektor ${\displaystyle \alpha ^{i}=\omega ^{i}\psi ,}$ oś obrotu ${\displaystyle \omega ^{i}}$ i kąt obrotu ${\displaystyle \psi }$)

${\displaystyle R=e^{i\sum _{a}^{3}T^{a}\alpha ^{a}}.}$

Trzy macierze ${\displaystyle T^{a}}$ nazywamy generatorami grupy obrotów. Grupa obrotów SO(3) jest ciągłą grupą Liego.

Podgrupą grupy Galileusza jest podgrupa właściwych transformacji Galileusza

${\displaystyle x^{i}\rightarrow {x'}^{i}=x^{i}+v^{i}t+x_{0}^{i},}$

${\displaystyle t\rightarrow t'=t+t_{0}.}$

Parametryzowana jest przez 7 parametrów: wektor v translację w przestrzeni i w czasie ${\displaystyle T_{0}.}$

Podgrupą grupy Galileusza jest podgrupa translacji

${\displaystyle x^{i}\rightarrow {x'}^{i}=x^{i}+x_{0}^{i},}$

${\displaystyle t\rightarrow t'=t+t_{0}.}$

Podgrupa ta parametryzowana jest przez cztery parametry.

Grupa Galileusza parametryzowana jest przez 10 ciągłych parametrów. Zgodnie z twierdzeniem Noether, gdy grupa ta jest symetrią równań ruchu układu fizycznego, odpowiada jej istnienie 10 odpowiednich praw zachowania np. energii z translacji w czasie, pędu z translacji w przestrzeni, momentu pędu z symetrii obrotowej i pędu środka masy z transformacji właściwej generowanej przez ${\displaystyle v.}$