G-przestrzeń

G-przestrzeń – najogólniejsza przestrzeń, w której można rozważać istnienie linii geodezyjnych. Wprowadzona do matematyki przez Herberta Busemanna.

Definicja aksjomatyczna

Aksjomaty G-przestrzeni:

  1. Jest przestrzenią metryczną z metryką x y . {\displaystyle xy.}
  2. Jest przestrzenią skończenie zwartą, tj. spójny nieskończony zbiór ma przynajmniej jeden punkt skupienia.
  3. Dla dwóch różnych punktów x , z {\displaystyle x,z} istnieje różny od nich punkt y {\displaystyle y} taki, że x y + y z = x z , {\displaystyle xy+yz=xz,} co oznaczane jest ( x y z ) . {\displaystyle (xyz).}
  4. Dla każdego punktu p {\displaystyle p} istnieje liczba dodatnia p p {\displaystyle p_{p}} taka, że dla dowolnych dwóch różnych punktów x , y {\displaystyle x,y} takich, że x p < p p , y p < p p {\displaystyle xp<p_{p},yp<p_{p}} istnieje punkt z {\displaystyle z} spełniający ( x y z ) . {\displaystyle (xyz).}
  5. Jeśli ( x y z 1 ) {\displaystyle (xyz_{1})} i ( x y z 2 ) {\displaystyle (xyz_{2})} i y z 1 = y z 2 , {\displaystyle yz_{1}=yz_{2},} to z 1 = z 2 . {\displaystyle z_{1}=z_{2}.}

Bibliografia

  • Herbert Busemann: The geometry of geodesics. Elsevier Academic Press, 1955, s. 37, seria: Pure and applied mathematics (6). ISBN 0-12-374555-1, ISBN 978-0-12-374555-2. [dostęp 2009-09-22]. (ang.).