Bramka Hadamarda

Symbol bramki Hadamarda używany w obliczeniach kwantowych i na schematach obwodów kwantowych

Bramka Hadamarda (ozn. w skrócie symbolem H) – jednokubitowa bramka kwantowa, która przekształca qubity w stanach bazowych | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } and | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } na superpozycje tych stanów z równymi wagami; zwykle wybiera się tak fazę, że bramka ta w notacji Diraca ma postać:

H = | 0 ⟩ + | 1 ⟩ 2 ⟨ 0 | + | 0 ⟩ − | 1 ⟩ 2 ⟨ 1 | {\displaystyle H={\frac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}}\langle 0|+{\frac {|0\rangle -|1\rangle }{\sqrt {2}}}\langle 1|}

W reprezentacji macierzowej bramkę tą reprezentuje 2-wymiarowa macierz unitarna; w bazie wektorów | 0 ⟩ , | 1 ⟩ {\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle } macierz ta jest iloczynem 2 − 1 {\displaystyle {\sqrt {2}}\,^{-1}} i macierzy Hadamarda:

H = 1 2 [ 1 1 1 − 1 ] {\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}}

Działanie bramki Hadamarda

Działanie bramki Hadamarda H dla wektorów bazowych (stanów bazowych) | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } oraz | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } oblicza się, mnożąc macierz H przez wektory bazy, co daje wynik:

H | 0 ⟩ = 1 2 ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ) , {\displaystyle H\,|0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}|0\rangle +|1\rangle {\Big )},}
H | 1 ⟩ = 1 2 ( | 0 ⟩ − | 1 ⟩ ) . {\displaystyle H\,|1\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}|0\rangle -|1\rangle {\Big )}.}

Wektory H | 0 ⟩ , H | 1 ⟩ {\displaystyle H|0\rangle ,H|1\rangle } stanowią bazę ortonormalną w przestrzeni stanów jednego kubitu, którą nazywa się bazą Hadamarda i oznacza symbolami | + ⟩ ≡ H | 0 ⟩ , {\displaystyle |+\rangle \equiv H|0\rangle ,} | − ⟩ ≡ H | 1 ⟩ . {\displaystyle |-\rangle \equiv H|1\rangle .}

Odwracalność bramki Hadamarda

Bramka Hadamarda jak każda bramka kwantowa jest odwracalna: jej działanie prowadzi do pewnego stanu kwantowego to ponowne przejście tego stanu przez bramkę Hadamarda daje stan początkowy. Np.:

H | 0 ⟩ = 1 2 | 0 ⟩ + 1 2 | 1 ⟩ {\displaystyle H\,|0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle }

oraz

H ( 1 2 | 0 ⟩ + 1 2 | 1 ⟩ ) = 1 2 ( H | 0 ⟩ + H | 1 ⟩ ) = 1 2 ( 1 2 ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ) + 1 2 ( | 0 ⟩ − | 1 ⟩ ) ) = 1 2 ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ + | 0 ⟩ − | 1 ⟩ ) = | 0 ⟩ . {\displaystyle H\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle \right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}(H|0\rangle +H|1\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}|0\rangle +|1\rangle {\Big )}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}|0\rangle -|1\rangle {\Big )}\right)={\frac {1}{2}}{\Big (}|0\rangle +|1\rangle +|0\rangle -|1\rangle {\Big )}=|0\rangle .}

Powyższą własność łatwo dowodzi się korzystając z postaci macierzowej bramki Hadamarda: podwójne zastosowanie tej bramki odpowiada mnożeniu macierzy bramki Hadamarda przez siebie, co daje macierz jednostkową:

H ⋅ H = 1 2 [ 1 1 1 − 1 ] ⋅ 1 2 [ 1 1 1 − 1 ] = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle H\cdot H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}

Oznacza to, że działanie kolejnych dwóch bramek jest identycznością, a więc nie zmienia stanu, na który działa.

Uniwersalność bramki Hadamarda

Bramka Hadamarda ma podstawowe znaczenie dla obliczeń kwantowych, jako jedna z tzw. uniwersalnych bramek kwantowych (wszystkie inne bramki kwantowe można zbudować z bramek zbioru uniwersalnych bramek kwantowych).

Zobacz też

  • algorytm kwantowy
  • informatyka kwantowa
  • komputer kwantowy
  • Jacques Hadamard