Parabel

En parabel er i matematikk en type kjeglesnitt, en plan kurve dannet som skjæringslinjen mellom et plan og en kjegleflate.^[1] Andre typer kjeglesnitt er ellipser og hyperbler.

En parabel kan defineres geometrisk som en samling av punkt som ligger like langt fra et gitt punkt som fra en gitt rett linje. Analytisk kan en parabel beskrives ved hjelp av en andregradsligning i to variable. For at ligningen skal framstille en parabel må diskriminanten definert ved ligningskoeffisientene være lik null. I visse tilfeller kan parabelen degenerere til to rette linjer.

Geometrisk definisjon

En parabel kan defineres som det geometriske sted for et punkt som ligger like langt fra et gitt punkt som fra en gitt rett linje. Punktet kalles for brennpunktet eller fokus, og linjen kalles styrelinje eller direktrise. Generelt er et kjeglesnitt det geometriske sted for et punkt der avstanden fra brennpunktet er proporsjonal med avstanden til styrelinjen, og proprosjonaliteteskonstanten kalles eksentrisiteten. En parabel er altså et kjeglesnitt med eksentrisitet lik 1.

Et plan som skjærer en rett kjegleflate med sirkulær basis vil framstille en parabel dersom toppvinkelen i kjeglen er lik vinkelen som planet danner med kjegleaksen. Eksempelvis vil en kjegle som har toppvinkel lik nitti grader danne en parabel dersom planet står normalt på en generatrise i kjegleflaten.

Polarform

Gitt en styrelinje og et brennpunkt F, og la avstanden mellom disse være ${\displaystyle h=2a}$. For et vilkårlig punkt på parabelen P er avstanden til styrelinjen alltid lik avstanden til brennpunktet:

${\displaystyle |FP|=|SP|}$

Linjen normalt på styrelinjen gjennom brennpunktet kalles aksen til parabelen. I polarkoordinater ${\displaystyle (r,\theta )}$ med polen definert i brennpunktet og akse langs parabelaksen kan dette skrives som

${\displaystyle r=2a+r\cos \theta }$

Toppunktet til parabelen er punktet der ${\displaystyle \theta =180^{\circ }}$, det vil si i avstanden ${\displaystyle a}$ fra brennpunktet. Korden mellom to punkt på parabelen, gjennom brennpunktet, kalles latus rectum, og lengden ${\displaystyle l}$ av denne er

${\displaystyle l=2r(\theta =90^{\circ })=4a}$

Halve korden kalles semi-latus rectum, med lengde ${\displaystyle p=l/2=2a}$.

Standardform i kartesiske koordinater

En standardform for parabelen, også kalt en kanoniske formen, er en ligning for de kartesiske koordinatene ${\displaystyle (x,y)}$ som framkommer når ${\displaystyle x}$-aksen defineres langs parabelaksen, ${\displaystyle y}$-aksen defineres parallelt med styrelinjen og origo velges i toppunktet for parabelen:^[2]

${\displaystyle y^{2}=lx}$

Ligningen har én parameter, her ${\displaystyle l}$. Alternativt skrives ligningen ved hjelp av semi-latus rectum ${\displaystyle p}$ eller med avstanden ${\displaystyle a}$ mellom brennpunktet og toppunktet. Det er også mulig å legge parabelaksen langs ${\displaystyle y}$-yaksen, slik at ${\displaystyle x}$ og ${\displaystyle y}$ bytter plass i ligningen.

Standardformen kan utledes fra polarformen, ved å bruke sammenhengen mellom polarkoordinatene og de kartesiske koordinatene:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x&=a+r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\r^{2}&=(x-a)^{2}+y^{2}\\\end{alignedat}}}$

Standardformen med origo i toppunktet kan skrives som en parameterframstilling på formen

${\displaystyle x(t)=at^{2}\qquad y(t)=2at\qquad t\in (-\infty ,\infty )}$

En alternativ kanonisk form framkommer ved å legge origo i brennpunktet:^[2]

${\displaystyle y^{2}=4a(x+a)}$

Generell kvadratisk form

En generell kvadratisk form

${\displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$

vil framstillen en parabel dersom diskriminanten ${\displaystyle d}$ er lik null:^[3]

${\displaystyle d=B^{2}-4AC=0}$

Ligningen kan overføres til standardformen ved hjelp av en koordinattransformasjon, en translasjon og en rotasjon.

Degenererte parabler

En parabel med diskriminant lik null vil degenerere dersom determinanten til matriseformen er lik null.^[2] Matriseformen er

${\displaystyle {\mathsf {x}}{\mathsf {R}}{\mathsf {x}}^{\operatorname {T} }=0}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\mathsf {x}}&=(x,y,1)\\[3pt]{\mathsf {R}}&=\left({\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right)\\[3pt]\end{alignedat}}}$

Determinanten ${\displaystyle \Delta _{3}}$ til matrisen ${\displaystyle {\mathsf {R}}}$ er gitt ved

${\displaystyle \Delta _{3}=\det {\mathsf {R}}={\begin{vmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{vmatrix}}}$

Tabellen under gir en oversikt over degenererte parabler, forutsatt at ${\displaystyle d=\Delta _{3}=0}$.^[2]

		Kjeglesnitt
${\displaystyle C\neq 0}$	${\displaystyle E^{2}-4CF>0}$	To parallelle reelle linjer
	${\displaystyle E^{2}-4CF=0}$	To parallelle sammenfallende linjer
	${\displaystyle E^{2}-4CF<0}$	To parallelle imaginære linjer
${\displaystyle B=C=0}$	${\displaystyle D^{2}-4AF>0}$	To parallelle reelle linjer
	${\displaystyle D^{2}-4AF=0}$	To parallelle sammenfallende linjer
	${\displaystyle D^{2}-4AF<0}$	To parallelle imaginære linjer

Egenskaper

For en parabel på standardformen med sentrum i toppunktet er ligningen for tangenten i punktet ${\displaystyle x_{0},y_{0}}$ gitt ved

${\displaystyle y_{0}y-2ax-{y_{0}}^{2}+2ax_{0}=0}$

Generaliseringer

Ved å rotere en parabel rundt aksen framkommer en omdreiningsflate kalt en paraboloide. En slik flate brukes i mange innretninger der målet er å fokusere innkommende stråler, for eksempel en parabolantenne for radiokommunikasjon og en lyddusj for retningsstyrt lyd.

Historie

For en felles oversikt over historien til kjeglesnitt, se avsnittet om kjeglesnittenes historie.

Se også

• Ellipse
• Hyperbel
• Kjeglesnitt
• Andregradsligning

Referanser

Litteratur

• J.Dennis Lawrence (1972). A Catalog of Special Plane Curves. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-60288-2. 

• George B. Thomas, Ross L. Finney (1995). Calculus and Analytic Geometry (9th edition utg.). Reading, USA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-53174-7. CS1-vedlikehold: Ekstra tekst (link)