Σ-algebra

Uforståelig: Denne artikkelen kan være vanskelig å forstå og artikkelen bør derfor få en grundig opprydning.

En familie ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ av delmengder av mengden ${\displaystyle X}$ kalles en sigma-algebra dersom

1. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ er ikke tom. (Det finnes minst en delmengde ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$.)
2. Lukket under komplement: Hvis ${\displaystyle A}$ er med i ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ så er komplementet ${\displaystyle A^{c}=X\setminus A}$ også være med i ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$
3. Lukket under tellbare unioner: Hvis ${\displaystyle (A_{n})_{n=1}^{\infty }}$ er en samling av mengder i ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ er også unionen ${\displaystyle \cup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ med i ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Det følger at ${\displaystyle \emptyset }$ og ${\displaystyle X}$ er med i ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$:
Tar vi en vilkårlig mengde ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ (som finnes, ved egenskap 1) har vi at komplementet ${\displaystyle A^{c}}$ er i ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ved egenskap 2, og ved egenskap 3 får vi at da må unionen ${\displaystyle A\cup A^{c}=X}$ og dens komplement ${\displaystyle \emptyset }$ være i ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Eksempel

Den enkleste ${\displaystyle \sigma }$-algebraen på en gitt mengde ${\displaystyle X}$ er den trivielle: ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{\emptyset ,X,A,A^{c}\}}$, for en delmengde ${\displaystyle A}$ av ${\displaystyle X}$. Går vi til den andre enden av skalaen er den største ${\displaystyle \sigma }$-algebraen på en gitt mengde samlingen av alle delmengder av ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$.

La ${\displaystyle X={1,2,3,4,5,....}}$ være mengden ${\displaystyle \mathbb {N} }$ av alle naturlige tall, og la familien ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ bestå av de 4 delmengdene ${\displaystyle \emptyset }$, ${\displaystyle {1,3,5,....}}$ (alle oddetall) ${\displaystyle {2,4,6,...}}$ (alle partall) samt ${\displaystyle X}$ selv. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ er da en sigma-algebra.

En svært viktig ${\displaystyle \sigma }$-algebra er Borel ${\displaystyle \sigma }$-algebraen. Denne definerer vi som ${\displaystyle \sigma }$-algebraen generert av alle de åpne mengdene på en mengde ${\displaystyle X}$. Dersom vi betrakter de reelle tallene vil da de åpne mengdene være åpne intervaller, og dermed kan vi skrive ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\sigma ((a,b))}$. Ved egenskapene 2 og 3 kan vi vise at også de lukkede mengdene, de halvåpne mengdene og åpne og lukkede stråler genererer Borel ${\displaystyle \sigma }$-algebraen. Igjen for de reelle tallene får vi da at Borel ${\displaystyle \sigma }$-algebraen også er generert av ${\displaystyle [a,b]}$,${\displaystyle [a,b)}$,${\displaystyle (a,\infty )}$ og ${\displaystyle [a,\infty )}$.

Referanser

Bartle, Robert G: The Elements of Integration and Lebesgue Measure. Wiley Classics Library