Supremum

In de ordetheorie, een deelgebied van de wiskunde, is het supremum, meervoud suprema, afgekort tot sup, van een deelverzameling ${\displaystyle D}$ van een partieel geordende verzameling ${\displaystyle V}$ de kleinste van alle bovengrenzen van ${\displaystyle D}$. Het is dus mogelijk, dat het supremum van ${\displaystyle D}$ zelf geen element van ${\displaystyle D}$ is, of dat zo'n kleinste element niet bestaat. Een bovengrens is een zodanig element dat geen element in de deelverzameling groter is dan die bovengrens. Elk element in de deelverzameling is kleiner dan een bovengrens of eventueel daaraan gelijk. Suprema van verzamelingen van reële getallen zijn een veelvoorkomend speciaal geval, die vooral belangrijk zijn in de analyse.

Het supremum heeft als duaal begrip het infimum.

Definitie

Laat ${\displaystyle V}$ een partieel geordende verzameling zijn met orderelatie ${\displaystyle \leq }$, en ${\displaystyle D}$ een deelverzameling van ${\displaystyle V}$.

Een element ${\displaystyle b\in V}$ is een bovengrens van ${\displaystyle D}$ als voor alle ${\displaystyle x\in D}$ geldt: ${\displaystyle x\leq b}$.

Een bovengrens ${\displaystyle s}$ van ${\displaystyle D}$ heet supremum van ${\displaystyle D}$, genoteerd als ${\displaystyle \sup(D)}$, als voor elke bovengrens ${\displaystyle b}$ van ${\displaystyle D}$ geldt: ${\displaystyle s\leq b}$. Het begrip supremum komt dus overeen met kleinste bovengrens (kleinste element van de verzameling bovengrenzen).

Een supremum bestaat niet in alle gevallen, maar als een supremum bestaat is het uniek. Als de deelverzameling ${\displaystyle D}$ geen enkele bovengrens heeft, bestaat er geen supremum, maar ook een niet-lege verzameling bovengrenzen hoeft geen kleinste element te hebben, zoals in het geval dat ${\displaystyle V}$ de verzameling rationale getallen is en ${\displaystyle D}$ de verzameling rationale getallen waarvan het kwadraat kleiner is dan 2.

Supremum van een verzameling reële getallen

In de analyse wordt van het supremum of de kleinste bovengrens van een deelverzameling ${\displaystyle S}$ van de reële getallen, aangeduid door ${\displaystyle \sup(S)}$, niet gesteld dat het soms niet bestaat: als ${\displaystyle S}$ van boven niet begrensd is definieert men ${\displaystyle \sup(S)=\infty }$, en voor de lege verzameling is het supremum gedefinieerd als ${\displaystyle \sup(\varnothing )=-\infty }$. Hiermee hebben de reële getallen de belangrijke eigenschap dat elke deelverzameling een supremum heeft. Elke niet-lege begrensde deelverzameling van de reële getallen heeft een supremum in de verzameling van reële getallen.

Voorbeelden zijn:

${\displaystyle \sup\{1,2,3\}=3}$

${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=1}$

${\displaystyle \sup\{(-1)^{n}-{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {N} ^{+}\}=1}$

Als ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle Y}$ niet leeg zijn geldt:

${\displaystyle \sup\{x+y:x\in X,y\in Y\}=\sup(X)+\sup(Y)}$

Het supremum van een verzameling ${\displaystyle \{x,y\}}$ wordt ook met het symbool ${\displaystyle \lor }$ aangegeven: ${\displaystyle x\lor y=\sup\{x,y\}}$.

Websites

• (en) PlanetMath. supremum

Bronvermelding

• (en) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-Hill, 1976.