Kwadraatafsplitsen

Kwadraatsplitsen is het herschrijven van een tweedegraadspolynoom die gegeven is in de vorm

f ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}

tot de vorm

f ( x ) = a ( x + r ) 2 + s {\displaystyle f(x)=a(x+r)^{2}+s}

met

r = b 2 a {\displaystyle r={\frac {b}{2a}}} en s = c − b 2 4 a {\displaystyle s=c-{\frac {b^{2}}{4a}}}

De methode van kwadraatafsplitsen wordt onder meer gebruikt bij

  • het oplossen van een tweedegraadsvergelijking
  • het tekenen van de grafiek van een kwadratische functie
  • het integreren van een functie met behulp van een lineaire transformatie van de integratievariabele

Voorbeelden

Voorbeeld 1

Los de volgende tweedegraadsvergelijking op:

x 2 + 6 x + 5 = 0 {\displaystyle x^{2}+6x+5=0}

Splits een kwadraat af

( x + 3 ) 2 − 4 = 0 {\displaystyle (x+3)^{2}-4=0}

of anders geschreven:

( x + 3 ) 2 = 4 , {\displaystyle (x+3)^{2}=4,}

met als oplossingen:

x + 3 = ± 2 {\displaystyle x+3=\pm 2}

dus

x = − 5 {\displaystyle x=-5} of x = − 1. {\displaystyle x=-1.}
Voorbeeld 2

Bepaal de integraal:

I = ∫ d x x 2 + 2 p x + q {\displaystyle I=\int {\frac {{\rm {d}}x}{x^{2}+2px+q}}}

Splits in de noemer een kwadraat af:

I = ∫ d x ( x + p ) 2 + q − p 2 {\displaystyle I=\int {\frac {{\rm {d}}x}{(x+p)^{2}+q-p^{2}}}}

Substitueer y = x + p {\displaystyle y=x+p} , dus x = y − p {\displaystyle x=y-p} en d x = d y {\displaystyle {\rm {d}}x={\rm {d}}y} , en noem voor het gemak a = q − p 2 {\displaystyle a=q-p^{2}} . Dan wordt

I = ∫ d y y 2 + a {\displaystyle I=\int {\frac {{\rm {d}}y}{y^{2}+a}}} ,

waardoor de integraal is teruggebracht tot een standaardintegraal met een bekende oplossing.