Euclidische topologie

In de topologie en vooral in de algemene topologie, een deelgebied van de wiskunde, is de euclidische topologie de natuurlijke topologie, die wordt geïnduceerd op een euclidische ruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ door de euclidische metriek. Om de verzameling ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ van een topologie te voorzien, betekent te zeggen welke deelverzamelingen van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ open zijn, en dit op een zodanige manier te doen, dat aan de drie volgende axioma's wordt voldaan:

1. De vereniging van open verzamelingen is een open verzameling.
2. De eindige doorsnede van open verzamelingen is een open verzameling.
3. De verzameling ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ en de lege verzameling ${\displaystyle \varnothing }$ zijn open.

De euclidische topologie op de euclidische ruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ wordt voortgebracht door de volgende boloppervlakken.

${\displaystyle O_{\varepsilon }(x)=\{y\in \mathbb {R} ^{n}\mid \|x-y\|_{2}<\varepsilon \}}$

Dit zijn open verzamelingen en zij bestaan uit alle vectoren, die op een afstand minder dan ${\displaystyle \varepsilon }$ van een gegeven vector ${\displaystyle x}$ liggen. Zij induceren allemaal dezelfde topologie, omdat op ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ alle normen equivalent zijn.