Janjang geometri

Dalam bidang matematik, janjang geometri ialah sejenis janjang dengan nisbah yang malar antara sebutan-sebutannya. Sebagai contoh,

1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots }

ialah janjang geometri kerana setiap sebutan (kecuali sebutan pertama) diperolehi dengan mendarab sebutan sebelumnya dengan 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} .

Hasil tambah

Rumus untuk hasil tambah janjang geometri ialah

a + a r + a r 2 + a r 3 + ⋯ + a r n = ∑ k = 0 n a r k = a 1 − r n + 1 1 − r , {\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a\,{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}},}

di mana a {\displaystyle a} ialah sebutan pertama dan r {\displaystyle r} ialah nisbah sepunya, dan r ≠ 1 {\displaystyle r\neq 1} . Rumus ini diperoleh dengan langkah-langkah berikut:

Katakan  s = 1 + r + r 2 + r 3 + ⋯ + r n . Maka  r s = r + r 2 + r 3 + r 4 + ⋯ + r n + r n + 1 . Maka  s − r s = s ( 1 − r ) = 1 − r n + 1 ,  jadi  s = 1 − r n + 1 1 − r . {\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{Katakan }}s=1+r+r^{2}+r^{3}+\cdots +r^{n}.\\[4pt]&{\text{Maka }}rs=r+r^{2}+r^{3}+r^{4}+\cdots +r^{n}+r^{n+1}.\\[4pt]&{\text{Maka }}s-rs=s(1-r)=1-r^{n+1},{\text{ jadi }}s={\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.\end{aligned}}}

Rumus tadi boleh dihasilkan dengan mendarab dengan a {\displaystyle a} .

Bila n {\displaystyle n} mendekati ketakterhinggaan, nilai mutlak bagi r {\displaystyle r} mestilah lebih kecil daripada 1 supaya janjang tersebut menumpu. Hasil tambah tadi kemudiannya menjadi

s = ∑ k = 0 ∞ a r k = a 1 − r = a + a r + a r 2 + a r 3 + a r 4 + ⋯ . {\displaystyle s\;=\;\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\cdots .}

Bila a = 1 {\displaystyle a=1} , permudahkan lagi:

1 + r + r 2 + r 3 + ⋯ = 1 1 − r , {\displaystyle 1\,+\,r\,+\,r^{2}\,+\,r^{3}\,+\,\cdots \;=\;{\frac {1}{1-r}},}

dengan ungkapan sebelah kiri adalah janjang geometri dengan nisbah sepunya r {\displaystyle r} . Kita memperoleh rumus ini:

Katakan  s = 1 + r + r 2 + r 3 + ⋯ . Maka  r s = r + r 2 + r 3 + ⋯ . Maka  s − r s = 1 ,  jadi  s ( 1 − r ) = 1 ,  jadi  s = 1 1 − r . {\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{Katakan }}s=1+r+r^{2}+r^{3}+\cdots .\\[4pt]&{\text{Maka }}rs=r+r^{2}+r^{3}+\cdots .\\[4pt]&{\text{Maka }}s-rs=1,{\text{ jadi }}s(1-r)=1,{\text{ jadi }}s={\frac {1}{1-r}}.\end{aligned}}}

Rumus am ini sah jika didarab dengan a {\displaystyle a} .

Rumus ini hanya sah untuk siri yang menumpu (iaitu bila nilai mutlak r {\displaystyle r} kebih kecil daripada 1). Sebagai contoh, hasil tambah ini tak tertakrif bila r = 10 {\displaystyle r=10} meskipun rumus itu menghasilkan s = − 1 9 {\displaystyle s=-{\frac {1}{9}}} .

Berikut ialah gambaran bagi janjang geometri oleh E.Hairer dan G.Wanner, Analysis by Its History, bab III.2, rajah 2.1, m/s 188, Springer 1996: